Что такое множество?

Anik · Сообщение **Anik** » 18 ноя 2016, 11:09

Класс это элемент множества классов школы, согласен.
Множество учеников класса является элементом множества классов школы? А если в школе всего один класс? Можно ли в этом случае сказать, что множество учеников класса является элементом класса школы? Получается тогда, что множество учеников класса является элементом класса (т.е. множества учеников в классе)? Другими словами: множество элементов содержит себя в качестве элемента этого же множества (множество, являющееся элементом самого себя)?

12d3 · Сообщение **12d3** » 18 ноя 2016, 11:22

Anik писал(а):Source of the post Множество учеников класса является элементом множества классов школы?

Да.

Anik писал(а):Source of the post А если в школе всего один класс?

Тоже да. У вас есть множество учеников в классе. Допустим, в этом множестве 30 элементов. Есть множество классов в школе, состоящее из 1 элемента - одного класса.

Anik писал(а):Source of the post Можно ли в этом случае сказать, что множество учеников класса является элементом класса школы?

Нет, нельзя. В множестве учеников класса 30 элементов - 30 учеников, других элементов нет.

Anik писал(а):Source of the post Другими словами: множество элементов содержит себя в качестве элемента этого же множества (множество, являющееся элементом самого себя)?

Не только в данном случае, а вообще, теория запрещает существование множеств, которые являются элементом самого себя. Это называется аксиома регулярности.

vipakoz · Сообщение **vipakoz** » 18 ноя 2016, 13:30

УРРРРААА! Мой форум восстановили, желающие поспорить инадрать мне задницу, приходите по адресу. http://kovip.bestbb.ru/viewforum.php?id=1

vipakoz писал(а):Source of the post Где то про это есть. в разговоре про пивня и умность.

Теперь это просто, вот - http://e-science.ru/comment/445511#comment-445511

ARRY · Сообщение **ARRY** » 18 ноя 2016, 15:04

С интересом следил за дискуссией. 12d3, респект Вам и всяческая уважуха. Теория множеств была разжёвана Вами так, что не понять уже нельзя.
Anik, я кажется, начал понимать Вас. Вы считаете, что некие зловредные людишки, глядя в потолок, напридумывали какие-то аксиомы, которые не вяжутся со здравым смыслом и совершенно не согласуются с реальными апельсинами, учениками, зайцами, торсионными полями и очередью в гастрономе. Так? Я правильно Вас понял?
Вы считаете, что множество можно построить, лишь собрав все объекты, обладающие, как Вы его называете, коллективизирующим признаком. Верно? Кстати, так считал Кантор и его последователи. Но тогда и столкнулись с тем, что само понятия множества становилось во многих случаях каким-то нечётким, допускающим двусмысленности. А потом уже пришли и парадоксы. И чтобы покончить с неопределённостью, великие умы и придумали аксиомы - ведь надо же на что-то опираться.
Я неплохо знаю историю математики, пересказывать всё это тут на форуме - неблагодарное дело. Я мог бы Вас, например, отослать к прекрасной популярной книге Мориса Клайна "Математика. Утрата определённости". Но Вы же, Anik, не любите, когда важные дядьки, считающие себя умными, надувая щёки, отсылают Вас к учебникам.. Но я тыщу раз уже говорил всяческим альтам здесь на форуме: прежде чем что-то опровергать, надо с этим "что-то" тщательно ознакомиться. А не говорить, что апельсины Паши и Маши разные. Это детский подход.
Аксиомы нужны. Нужны для того, чтобы выводить из них заключения, которые потом, возможно, можно будет применить и к апельсинам и зайцам. Вы говорите, что они искусственно созданы. Ну да. От чего-то ведь.надо отталкиваться. В конце концов, люди придумали язык и письменность, тоже создав систему аксиом - алфавит и грамматику. Ведь когда пещерный человек говорил: "Ууу-ау!", это могло значить и удивление, и восхищение и приглашение дамы на ужин и....и...и т.д. Возникали двусмыленности и парадоксы. Язык возник как средство общения, свободное от парадоксов. Но это так, лирика.
Асиомы теории множеств - не высосаны из пальца, как у Вас, Anik:

Anik писал(а):Source of the post Я могу написать: дважды два четыре, а могу написать: дважды два пять, в зависимости от того, что автору надо?

Вы можете принять $2 \times 2 = 5$ как аксиому, но сможете ли Вы из неё что-то выводить? Возможно, и сможете, но это будет совсем другая математика, ещё более далёкая от апельсинов и зайцев. Аксиоматика теории множеств длилась десятилетиями, что-то удалялось, что-то добавлялось. До сих пор нет единого мнения насчёт аксиомы выбора - уж очень она спорная и не очень понятная. Ещё раз повторяю, об этом можно говорить бесконечно. Здесь нет ни места, ни времени. А вот Вы, лично Вы, Anik, усвоили хоть что-то из объяснений 12d3? Есть какие-то непонятные места в аксиомах теории множеств? Не в Цермело-Френкеля, а в обычной канторовской, которую иногда называют наивной. Той самой про которую толкуют почитаемые Вами Белоусов и Ткачёв? Давайте проверим.
Вот простейший тест для Вас , Anik.

Скажите, какие из этих утверждений являются истинными, а какие - ложными.
1. $\{ 0, 11,-5\}\subseteq \{6,0,18,11,-7,-5\}$
2. $\{ 0, 11,-5\} \subset \{6,0,18,11,-7,-5\}$
3. $\{ 0, 11,-5\} \in \{ 6,0,18,11,-7,-5\}$
4. $\varnothing \subseteq \varnothing$
5. $\varnothing =\{ \varnothing \}$
6. $\varnothing \in \varnothing$
7. $\varnothing \in \{ \varnothing \}$
8. Дано множество $P=\{ -5, 0, 18, 8, \{ 1, 2\} \}$ . Чему равна $$|P|$$

- мощность этого множества? Anik, удачи.
12d3, плюсую.

sever.zapad720

sever.zapad720

ARRY · Сообщение **ARRY** » 19 ноя 2016, 05:50

Да, Anik, и ещё меня немного покоробило Ваше пренебрежительное недоверие:

12d3 писал(а):Source of the post Вообще в аксиоматике теории множеств все объекты по умолчанию являются множествами

Anik писал(а):Source of the post Что-то весьма сомнительно.

А почему по умолчанию? Вот в упомянутой книге Уайтхеда и Рассела (том 1) на стр. 14 читаем определение: "In set theory, any object is generally considered as a set".
И это логично. В общем, Anik, в (п+1)-й раз говорю: учите матчасть, а то Вас ночью разбудят, а Вам и сказать нечего.

Anik · Сообщение **Anik** » 19 ноя 2016, 07:18

ARRY, я отвечу но не на все ваши вопросы.

ARRY писал(а):Source of the post С интересом следил за дискуссией. 12d3, респект Вам и всяческая уважуха. Теория множеств была разжёвана Вами так, что не понять уже нельзя.

А почему вы говорите в прошедшем времени? Я не считаю, что теория множеств "разжёвана", как вы пишете. Я не полностью удовлетворён ответами и у меня ещё есть вопросы для уточнения. Или вы уже не будете дальше следить за дискуссией?

ARRY писал(а):Source of the post Anik, я кажется, начал понимать Вас. Вы считаете, что некие зловредные людишки, глядя в потолок, напридумывали какие-то аксиомы, которые не вяжутся со здравым смыслом и совершенно не согласуются с реальными апельсинами, учениками, зайцами, торсионными полями и очередью в гастрономе. Так? Я правильно Вас понял?

Да, правильно. Аксиомы должны быть не "очевидны", а соответствовать реальности, тому, что есть в природе. Возьмите карандаш и линейку, и попробуйте через две точки провести две различные прямые. Две прямые на плоскости пересекаются в одной точке. Вот ещё аксиома (моя): в природе не существуют два одинаковых объекта.
«На первых порах геометры XIX в. исправляли Евклида, оставаясь в вопросе об истинности геометрии по существу на позициях Аристотеля, т.е. они считали, что:

Исходные положения (аксиомы и основные понятия) имеют вполне определённый содержательный смысл; Аксиомы истинны в силу своей очевидности.
Теоремы истинны, так как они выводятся правильными логическими рассуждениями из истинных аксиом.

Эта точка зрения называется содержательной. Развитие математики в XIX и XX вв. привело к некоторому новому уровню дедуктивно-аксиоматических построений, который принято называть формальным. Этот уровень стал необходимым в связи с созданием новых отделов математики, имеющих дело с очень отвлечёнными и мало наглядными конструкциями. Наглядность и очевидность исходных утверждений перестала, тем самым, быть критерием правильности (и полезности) математических построений. Вперёд выдвинулась логическая строгость математических построений. Явная формулировка всех аксиом и посылок стала насущно необходимой.
При формально-аксиоматическом построении теории намеренно отвлекаются от содержательного понимания и вопрос об истинности или очевидности аксиом уже больше не ставится. Аксиоматически построенная математическая теория занимается изучением лишь логических следствий из принятых аксиом. Таким образом, формально-аксиоматический подход преодолевает аристотелевский тезис 1.
Дальнейшее углубление дедуктивного метода, связанного с преодолением тезиса 2, возникает при анализе понятия правильного логического вывода. Оказывается, что для логики также возможно чисто формальное построение, отличающееся от её содержательного понимания». [М.М. Постников, «Аналитическая геометрия», стр. 195].
Обратите внимание в цитате на слова в круглых скобках (во вторых скобках). Видать, Ефимов тоже сомневается в полезности формального аксиоматического подхода. "Вопрос об истинности аксиом уже не ставится".

Аксиомы нужны. Нужны для того, чтобы выводить из них заключения, которые потом, возможно, можно будет применить и к апельсинам и зайцам.

Вы тоже, как видно, сомневаетесь в том, что заключения из аксиом (теоремы) можно будет, при таком формальном подходе, применить к "апельсинам и зайцам", т.е. в практической деятельности. Почему-то геометрия Евклида с успехом применяется в практической деятельности и не приводит к нечёткости, двусмысленности и парадоксам.

ARRY писал(а):Source of the post Вы считаете, что множество можно построить, лишь собрав все объекты, обладающие, как Вы его называете, коллективизирующим признаком. Верно? Кстати, так считал Кантор и его последователи. Но тогда и столкнулись с тем, что само понятия множества становилось во многих случаях каким-то нечётким, допускающим двусмысленности. А потом уже пришли и парадоксы. И чтобы покончить с неопределённостью, великие умы и придумали аксиомы - ведь надо же на что-то опираться.

По поводу коллективизирующего свойства: это не я так его называю, так называют его авторы учебника. «Дискретная математика», А.И. Белоусов, С.Б. Ткачёв, издательство МГТУ имени Н.М. Баумана, Москва, 2001г. Заметьте: 2001г. Или этот учебник уже безнадёжно устарел? Лично я назвал бы это свойство классифицирующим, потому, что именно по нему и производится классификация (а не коллективизация) объектов. Понятие "коллективизация" вызывает неуместные в данном контексте ассоциации. По поводу: "Но тогда и столкнулись с тем, что само понятия множества становилось во многих случаях каким-то нечётким, допускающим двусмысленности. А потом уже пришли и парадоксы." Нужно ещё разобраться, от чего пришли парадоксы.

ARRY писал(а):Source of the post Асиомы теории множеств - не высосаны из пальца, как у Вас, Anik:

Anik в 16.11.2016, 15:04 написал(а): linkЯ могу написать: дважды два четыре, а могу написать: дважды два пять, в зависимости от того, что автору надо?Вы можете принять $2 \times 2 = 5$ как аксиому, но сможете ли Вы из неё что-то выводить?

ARRY, не надо лукавить. В моей цитате стоит вопрос, а возник он в связи с тем, что на один и тот же элемент множества мы можем смотреть как на элемент или как на множество, в зависимости от того поставит ли автор по своей прихоти фигурные скобки или не поставит. И не надо мне присваивать 2х2=5 в качестве моей аксиомы! Если я одного из учеников класса "заключу в фигурные скобки", то это будет подмножество учеников класса, а если без скобок, то элемент множества учеников класса? А как ответить на вопрос: данный ученик заключён в фигурные скобки (кем-то) или нет. Как нужно рассматривать этого ученика как элемент класса или как его подмножество?

ARRY писал(а):Source of the post Скажите, какие из этих утверждений являются истинными, а какие - ложными.
1. $\{ 0, 11,-5\}\subseteq \{6,0,18,11,-7,-5\}$
2. $\{ 0, 11,-5\} \subset \{6,0,18,11,-7,-5\}$
3. $\{ 0, 11,-5\} \in \{ 6,0,18,11,-7,-5\}$
4. $\varnothing \subseteq \varnothing$
5. $\varnothing =\{ \varnothing \}$
6. $\varnothing \in \varnothing$
7. $\varnothing \in \{ \varnothing \}$
8. Дано множество $P=\{ -5, 0, 18, 8, \{ 1, 2\} \}$ . Чему равна - мощность этого множества?

Верные 1, 2, 4. Что касается остальных - они зависят от определения значка принадлежности $\in$ . О равенстве 5, я как раз и выясняю вопрос о фигурных скобках.

vipakoz · Сообщение **vipakoz** » 19 ноя 2016, 10:58

Anik писал(а):Source of the post Аксиомы должны быть не "очевидны", а соответствовать реальности, тому, что есть в природе.

С этим утверждением согласен полностью. Субъективная реальность, единственный критерий истинности. Проблема математики, как я уже говорил, в неполноте свойств рассматриваемых объектов которые должны иметь, как минимум, три свойства, кторые обеспечивают возможность существования объекта в объетивной рельности. ... "Выразить можно что угодно, во многих видах. Но, меня интересует не форма, а содержание. Содержание же, (суть любого объекта) в предельно общем виде, описывается триединством СУИ. Существование, выражается в виде массы или заряда. Упорядочение, выражается в виде пространства и в виде порядковых объектов; расстояние, порядок следования, пространственная координация и т.п. . Изменение выражается в виде времени и ареала существования объектов."

Цитата: kovip от 02.02.2016 [14:51:10]Машинная информация, создаёт, различные виртуальные миры, на основе одного вида взаимодействий, с помощью одного вида материи. Физика, всё ближе к тому, чтобы создать описание мира в том же виде, - единой теории взаимодействий.
Весьма сомнительный тезис. Компьютерные виртуальные миры создаются не на базе физического взаимодействия, а на базе операторов какого-либо языка программирования того или иного уровня. При этом совершенно неважно, на каком физическом принципе (или взаимодействии, если угодно) работает логика компъютера, реализующего программу - на электрическом, пневматическом (были и такие) или механическом (таких не было, но они возможны). ...
Цитата: dvb от 03.02.2016 [05:52:28]не на базе физического взаимодействия, а на базе операторов какого-либо языка программирования того или иного уровня.
Язык, это вид порядка. Порядок не может существовать в отрыве от материи. Таким образом, если некто будет исследовать компьютер, понятия не имея, что это за объект, он будет рассматривать его, именно, как материальную систему, в которой происходят некие физические процессы - распределение электрических зарядов.
Потом, после накопления знаний о исследуемой системе, в конце концов, проявится и язык, как набор символов, отражающих объективно существующие объекты. Типа математики, которая, суть, описание количественных и пространственных отношений без учёта их материальных свойств. Потому, в математике в отличие от физики, "полтора землекопа", это в принципе, нормальные объекты, без запрета на существование какими то условиями. Как в мультике, половина землекопа, может не только бегать, но, и копать, в отличие от объективно существующего землекопа

В принципе математику на данный момент не интересует истиность выводов

Anik писал(а):Source of the post на один и тот же элемент множества мы можем смотреть как на элемент или как на множество, в зависимости от того поставит ли автор по своей прихоти фигурные скобки или не поставит.

Т.е. истинность зависит от выбранной исследователем точки зрения в виде набора аксиом. И опять же, этоистинная позиция подтверждённая, например, в СТО, где истинность вывода зависит от положения наблюдателя в пространстве Минковского. Т.е. в отличие от "кухонной логики" в "полной логике" или математической, истин может быть бесконечное множество. Таким образом, вывод: Будет рассматриваемый объект множеством или элементом, зависит от постановки задачи. А не прихоти исследователя.Всё просто.
Получилось то, ради чего я и тусуюсь на форумах. Человек ищет ответы когда возникаю вопросы. Пойду "домой" отнесу.

Anik · Сообщение **Anik** » 19 ноя 2016, 11:06

vipakoz писал(а):Source of the post Субъективная реальность, единственный критерий истинности.

Вы, наверное, хотели сказать: объективная реальность?

yourdomain.com