Рубен писал(а):Source of the post Anik писал(а):Source of the post Почему, начав говорить о множествах, пришлось говорить о такой общей проблеме?
кому пришлось?
Тут, в некотором роде, замкнутый круг: чтобы понять теорию множеств, нужно понять, а как вообще у человека формируется представление о природе. Но, чтобы это понять, нам необходима какая-то логика наших рассуждений.
Это делается вот так (§2):
Может быть вы думаете, что ваше сообщение явится для меня откровением? Я неплохо осведомлён в данном вопросе. Я изучал книгу "Высшая геометрия" Ефимова Н.В. и не так, чтобы спихнуть, т.е. "сдать кванты", а чтобы самостоятельно разобраться. Там говорится и об аксиоматическом методе и о минимальности, полноте и непротиворечивости аксиом, о роли Гильберта в этом вопросе, и о пятом постулате Евклида, и о роли Лобачевского.
В вашем послании существенен последний абзац:
Обращение к аксиоматике, безусловно, способствует повышению строгости рассуждений. Но весь смысл аксиоматического метода состоит в том, что проводится чёткий водораздел между абстракциями и реальными объектами, образцами которых эти абстракции и являются. Как правило, это не делается, исследователи часто забывают, что в теории имеют дело не с самими реальными объектами, а лишь с их ярлыками. Поэтому бывает трудно установить на чём основан тот или иной вывод - на формальных свойствах, определяемых аксиомами, или житейском опыте.
Здесь есть некоторое (спекулятивное) противопоставление "формальных свойств" и "житейского опыта".
Вот по поводу "формальных свойств" приведу ещё цитату из книги М.М. Постников, "Аналитическая геометрия", стр. 195. (Кстати, тоже неплохая книга, рекомендую).
На первых порах геометры XIX в. исправляли Евклида, оставаясь в вопросах об истинности геометрии по существу на позициях Аристотеля, т.е. они считали, что:
1. Исходные положения: (аксиомы и основные понятия) имеют вполне определённый содержательный смысл; аксиомы истинны в силу своей очевидности.
2. Теоремы истинны, т.к. они выводятся правильными логическими рассуждениями из истинных аксиом.
Эта точка зрения называется содержательной. Развитие математики в XIX и XX вв. привело к некоторому новому уровню дедуктивно-аксиоматических построений, который принято называть формальным. Этот уровень стал необходимым в связи с созданием новых разделов математики, имеющих дело с очень отвлечёнными и мало наглядными конструкциями. Наглядность и очевидность исходных утверждений перестала, тем самым, быть критерием правильности (и полезности) математических построений. Явная формулировка всех аксиом и посылок стала насущно необходимой.
При формально-аксиоматическом построении теории намеренно отвлекаются от содержательного понимания и вопрос об истинности или очевидности аксиом уже больше не ставится. Аксиоматически построенная математическая теория занимается изучением лишь логических следствий из принятых аксиом. Таким образом, формально-аксиоматический подход преодолевает аристотелевский тезис 1.
Дальнейшее углубление дедуктивного метода, связанное с преодолением тезиса 2., возникает при анализе понятия правильного логического вывода. Оказывается, что для логики также возможно чисто формальное построение, отвлекающееся от её содержательного понимания.
Выделенный жирный текст мой.
По поводу "очевидности" исходных понятий и аксиом: да дело не в очевидности, а дело в соответствии реальной действительности. Аксиомы Евклида содержательны не в силу "очевидности" (что очевидно для одного, то не очевидно для другого), а в силу их
соответствия реальной действительности. Вот критерий истинности аксиом! Попробуйте через две точки провести две
различные прямые. Они сольются!
Между строк проглядывает позиция автора в рассматриваемом вопросе: вот это замечание (в скобочках) о полезности формальных математических построений; об "очень отвлечённых и мало наглядных конструкциях". Я согласен с позицией автора, не в ту степь гребёте господа формалисты! Полезность вашей математики становится сомнительной.
И не надо противопоставлять формальные свойства и житейский опыт (благо, что не написали ещё формальные свойства и обывательские представления).
grigoriy писал(а):Source of the post anik, я в этой теме в основном ёрничаю, и, думаю, причина вам понятна.
Понятно также, что и отвечать вы мне не должны.
Однако один вопрос я задал серьезно. Хотелось бы, чтобы вы объяснили всё-таки,
что такое "общая картина" в вашем понимании?
Вот если тему не закроют, и вы внимательно будете читать мои посты, то у вас и сложится общая картина. Правда, сложно это сделать, потому, что приходится отвечать на вопросы, и общая картина смазывается, чему ваши посты, не по существу, тоже способствуют.