В дальнейших рассуждениях о множествах, мы несколько сузим понятие "множество" и будем (хотя бы временно) считать, что
элементом множества может являться только материальный, реально существующий объект природы (естественный или искусственный)
. Потом посмотрим, сможем ли мы расширить это понятие до более абстрактных элементов. "Война план покажет". Ведь исторически математика тоже начиналась с натуральных чисел, а в дальнейшем понятие числа расширялось.
Вот цитата из "Дискретной математики" Белоусова и Ткачёва.
Рассмотрим способы задания конкретных множеств. Для конечного множества, число элементов которого относительно невелико, может быть использован способ непосредственного перечисления элементов. Элементы конечного множества перечисляют в фигурных скобках в произвольном фиксированном порядке {1,3,5,}. Подчеркнём, что поскольку множество полностью определено своими элементами, то при задании конечного множества порядок, в котором перечислены его элементы, не имеет значения. Поэтому записи {1,3,5}, {3,1,5}, {5,3,1} и т.д. все задают одно и то же множество. Кроме того, иногда в записи множества используют повторения элементов. Будем считать, что запись {1,3,3,5,5} задаёт то же самое множество, что и запись {1,3,5}. В общем случае для конечного множества используют форму записи
. Как правило, при этом избегают повторения элементов. Тогда конечное множество, заданное записью
, состоит из
n элементов. Его называют также
п-элементным множеством.Однако способ задания множества путём непосредственного перечисления его элементов применим в весьма узком диапазоне конечных множеств. Наиболее общим заданием конкретных множеств является указание некоторого свойства, которым должны обладать все элементы описываемого множества, и только они.
Вот этот последний способ задания множества мы и будем всегда иметь в виду.
Методом «перечисления» можно задать искусственное множество знаков, но только в случае, если они записаны, т.е. каким-либо образом материализованы, а не просто произнесены вслух.
Что означает: способ задания множества
путём непосредственного перечисления элементов? Что значит «перечислить»? Означает ли это, что мы должны просто назвать имена объектов природы? Задаём ли мы множество материальных объектов природы, называя (или записывая) их имена? Можно ли задать объект природы, назвав его имя? Допустим, мы написали: {Луна, кентавр, торсионное поле, бармаглот}. Мы только что «перечислили» четыре элемента, образуют ли они множество? Да, образуют, но мы должны осознавать, что элементами
этого множества являются знаки-имена, а не сами объекты природы, чьи имена мы назвали. Если мы написали ряд графических знаков в фигурных скобках через запятую, то это множество и является только
множеством графических знаков. Их коллективизирующим свойством является то, что все эти элементы находятся внутри фигурных скобок, а сами элементы, как единые графические знаки, отделены друг от друга запятыми.
Допустим, на таможне составляется опись содержимого чемодана. Вещи, находящиеся в чемодане «перечисляются» и записываются. Задаётся ли таким образом множество материальных объектов природы, находящихся в чемодане? Нет. Это множество уже задано как реальный факт. (Оно создавалось, когда упаковывался чемодан). Вот здесь и ощущается разница между множеством реально существующих объектов природы и множеством выдуманных кем-то имен, возможно пустых и бессодержательных. Какие же множества более достойны изучения? Возможно, что и те и другие, нужно только уметь их различать и не путать (имена могут быть и не пустыми).
Изучая реально существующее множество, мы изучаем саму природу, изучая множество имён, «пришедших кому-то в голову», мы изучаем особенности его мышления или вообще неизвестно что, если «перечисленные» понятия не определены, а их имена пусты.
Отсюда можно сделать вывод, что нужно как-то обозначить, что имеется в виду: просто графические знаки, перечисленные в фигурных скобках через запятую, или же имена определённых объектов природы. Знаки можно изучать как искусственные объекты природы, но их свойства зависят только от их структуры, их графического вида и т.п. Натуральные же объекты заданы самой природой, а определяется множество натуральных объектов их классифицирующим свойством, которым обладают исключительно только элементы множества. Множество объектов может быть создано человеком. Например, содержимое стеллажа в гараже или кладовой на мичуринском участке. Эти множества не случайны, среди классифицирующих свойств таких множеств могут быть функциональные свойства, характеризующие назначение этих объектов.