Что такое множество?

Anik · Сообщение **Anik** » 16 ноя 2016, 11:32

magnus-crank писал(а):Source of the post Продолжите рассуждения Зенона так, чтобы Ахилл обогнал черепаху.

У меня к вам просьба. Создайте тему: "парадокс Зенона" и там обсуждайте. Я тоже, может быть, поучаствую.

Anik · Сообщение **Anik** » 16 ноя 2016, 11:36

12d3 писал(а):Source of the post Вот есть множество из трех элементов: $\left \{ 1,2,3 \right \}$ . У него восемь различных подмножеств. Ни одно из этих подмножеств не является элементом, потому что элементы только такие: . Элементы в данном случае - это числа, они не являются множествами.

Странно... А не могли бы выписать эти "восемь различных подмножеств" Я понимаю так: {1}; {2}; {3}; {1,2}; {1,3}; {2,3}; {1,2,3}; {0}. Верно ли?
Если верно, то 1 это элемент данного множества или подмножество? Кто ставит фигурные скобки и чем он при этом руководствуется? Если я напишу {1}, то это уже не элемент а множество?
Корова - это элемент множества (стада) или подмножество? Если корова в фигурных скобках, то подмножество. Так что-ли?

12d3 · Сообщение **12d3** » 16 ноя 2016, 11:36

Anik писал(а):Source of the post Верно ли?

Верно.

Anik писал(а):Source of the post Если верно, то 1 это элемент данного множества или подмножество?

Просто 1, без скобок - элемент.

Anik писал(а):Source of the post Кто ставит фигурные скобки и чем он при этом руководствуется?

Ставит автор, в зависимости от того, что ему надо.

Anik писал(а):Source of the post Если я напишу {1}, то это уже не элемент а множество?

Это множество. В данном случае оно не является элементом множества $\left \{ 1,2,3 \right \}$ . но ничто не мешает ему быть элементом другого множества, например, множества всех подмножеств $\left \{ \varnothing ,\left \{ 1 \right \} ,\left \{ 2 \right \} ,\left \{ 3 \right \}, \left \{ 1,2 \right \},\left \{ 1,3 \right \},\left \{ 2,3 \right \},\left \{ 1,2,3 \right \}\right \}$ . В общем, $$1$$

и $\left \{ 1 \right \}$ - это разные вещи, а $\left \{ \left \{ 1 \right \} \right \}$ - это третья вещь, отличная от первых двух.

Anik писал(а):Source of the post Корова - это элемент множества (стада) или подмножество? Если корова в фигурных скобках, то подмножество. Так что-ли?

Типа того. $$x$$

и $\left \{ x \right \}$ - это разные вещи. Есть даже специальная аксиома, которая запрещает им быть одинаковыми.

magnus-crank

12d3 писал(а):Source of the post Вот другой пример, как я приводил выше: $\left \{ 1,2,\left \{ 1,2 \right \} \right \}$ . Это множество из трех элементов. Два элемента являются числами, а третий является множеством.

А вот тут мне интересно: как можно определить множество, состоящее из столь разнородных элементов?

12d3 · Сообщение **12d3** » 16 ноя 2016, 11:52

magnus-crank писал(а):Source of the post А вот тут мне интересно: как можно определить множество, состоящее из столь разнородных элементов?

а) Аксиома пары. Из двух объектов можно соорудить множество, содержащее эти два объекта. В частном случае, если объекты одинаковые, то множество будет содержать один этот объект.
б) Аксиома объединения. Из двух множеств можно соорудить их объединение.
Построение такое.
1)Берем сначала два объекта - 1 и 2. Из них делаем пару $\left \{ 1,2 \right \}$ .
2) Берем два одинаковых объекта $\left \{ 1,2 \right \}$ и $\left \{ 1,2 \right \}$ , по аксиоме пары делаем множество $\left \{ \left \{ 1,2 \right \}\right \}$
3) Берем два множества $\left \{ 1,2 \right \}$ и $\left \{ \left \{ 1,2 \right \}\right \}$ , из них делаем объединение $\left \{ 1,2, \left \{ 1,2 \right \} \right \}$

magnus-crank

12d3 писал(а):Source of the post 3) Берем два множества $\left \{ 1,2 \right \}$ и $\left \{ \left \{ 1,2 \right \}\right \}$ , из них делаем объединение $\left \{ 1,2, \left \{ 1,2 \right \} \right \}$

С формальной стороны понятно, что препятствий нет. Получается объединение разнородных множеств, а признак объединения, как я понимаю, математика не интересует и имеет данное выражение практический интерес или нет решает прикладник.
Вот мне и интересно, как прикладнику, как определить такое множество, то есть задать признак объединения?

Anik · Сообщение **Anik** » 16 ноя 2016, 12:04

12d3 писал(а):Source of the post Ставит автор, в зависимости от того, что ему надо.

Я могу написать: дважды два четыре, а могу написать: дважды два пять, в зависимости от того, что автору надо?

12d3 · Сообщение **12d3** » 16 ноя 2016, 12:21

magnus-crank писал(а):Source of the post Вот мне и интересно, как прикладнику, как определить такое множество, то есть задать признак объединения?

Я не очень понимаю, что такое признак объединения. Типа, возьмем корзину яблок, корзину груш, корзину апельсинов и свалим все это в кучу, обозвав корзиной фруктов, и фрукт - это признак объединения? Вообще, конструкции вида $\left \{ 1,2,\left \{ 1,2 \right \} \right \}$ прикладник может за всю жизнь ни разу и не встретить. Хотяя. Вот например, мы хотим определить последовательность из 2 чисел, например $$(3,5)$$

, и сделать это на основе множеств. Но написать просто $\left \{ 3,5 \right \}$ нельзя, потому что это то же самое, что и $\left \{ 5,3 \right \}$ , а нам порядок важен. Приходится выдумывать фигню типа $\left \{ 3, \left \{ 3,5 \right \} \right \}$ , чтобы хоть как-то зафиксировать порядок. Такая конструкция зовется упорядоченной парой, и нужна, например, в определении функции, которая есть множество упорядоченных пар (аргумент, значение).

Anik писал(а):Source of the post Я могу написать: дважды два четыре, а могу написать: дважды два пять, в зависимости от того, что автору надо?

Можете, но если вы хотите этим заниматься, то без меня, пожалуйста. Если же вы хотите разобраться, то обращайтесь.

12d3 · Сообщение **12d3** » 16 ноя 2016, 12:42

magnus-crank писал(а):Source of the post А вот тут мне интересно: как можно определить множество, состоящее из столь разнородных элементов?

Немного рассуждений о разнородности. Вообще в аксиоматике теории множеств все объекты по умолчанию являются множествами, то есть не наждо разделять элементы которые просто элементы и элементы которые множества. Я не стал это сразу упоминать, это вконец бы запутало Anik'а. Но мы вот использовали в записи числа в качестве элементов множеств. Откуда вообще появились эти числа, их в ZFC нет. Натуральные числа надо как-нибудь ввести с помощью аксиом. Это можно сделать разными способами, но для большей совместимости, лучше их вводить опять же с помощью теории множеств. Например $\varnothing$ - это 0, $\varnothing \cup \left \{ \varnothing \right \}$ - это 1, $\varnothing \cup \left \{ \varnothing \cup \left \{ \varnothing \right \} \right \}$ - это 2, и т.д. Одна из аксиом теории множеств, аксиома бесконечности, гарантирует нам существование множества натуральных чисел, определенных таким образом. Далее, на основе этого можно определить вещественные числа и вообще построить матанализ.
Далее, если рассматривать геометрию, вам наверняка известны ее аксиоматики, где есть неопределяемые понятия точки, прямой, плоскости и т.д. Но можно поступить по другому, без всяких точек. Определяем топологическое пространство как некое множество, наделенное дополнительной структурой(причем такая штука, как точка, даже не упоминается), потом определяем хаусдорфово пространство, метрическое пространство, евклидово пространство, потом всякие объекты в нем, типа прямой, плоскости, отрезка и т.д., вообще не используя понятия точки. Внутри всех-всех понятий будут где-то в глубине сидеть множества и только множества. Таким образом, по сути, никакого разделения на разнородные объекты не будет, все есть множество, в том или ином виде. Пифагор сейчас покрутился в гробу, наверное.
P.S. Я не претендую на знание основ всех разделов математики, но те, которые мне известны, можно построить исключительно на теории множеств.

magnus-crank

12d3 писал(а):Source of the post Я не очень понимаю, что такое признак объединения. Типа, возьмем корзину яблок, корзину груш, корзину апельсинов и свалим все это в кучу, обозвав корзиной фруктов, и фрукт - это признак объединения?

Поскольку я в теории множеств профан, всегда предполагал, что множество - это множество чего-то. И да, в данном случае будет фруктов.
Но, кстати, ответ у вас уже есть, по-моему. Если мы возьмём яблоки россыпью и яблоки в корзине, можно рассматривать объединение, как множество яблок с элементом множества в виде корзины яблок. Непривычно, но надо вникнуть. Если смотреть ниже, то элемент может входить и во множество и в элемент-множество, что усложняет.

12d3 писал(а):Source of the post Вообще, конструкции вида $\left \{ 1,2,\left \{ 1,2 \right \} \right \}$ прикладник может за всю жизнь ни разу и не встретить. Хотяя. Вот например, мы хотим определить последовательность из 2 чисел, например , и сделать это на основе множеств. Но написать просто $\left \{ 3,5 \right \}$ нельзя, потому что это то же самое, что и $\left \{ 5,3 \right \}$ , а нам порядок важен. Приходится выдумывать фигню типа $\left \{ 3, \left \{ 3,5 \right \} \right \}$ , чтобы хоть как-то зафиксировать порядок. Такая конструкция зовется упорядоченной парой, и нужна, например, в определении функции, которая есть множество упорядоченных пар (аргумент, значение).

Ага, спасибо!

yourdomain.com