Вот цитата из книги А.А. Френкель.. "Основания теории множеств".
Вообще, это парадокс Евбулида.
А вот цитата из моих "Первоначал вещей"
"Свойства объектов природы.
Рассмотрим понятие логики: «свойство». Попробуем его определить.
Вообще свойство это какая-либо характеристика объекта. Объекты природы различаются между собой по их свойствам. В языке объектам природы соответствует грамматическая категория – имя существительное. Свойствам объектов природы соответствует имя прилагательное (отвечает на вопрос,
какой?). Например: синий, холодный, молодой, лысый и т.п. Следует заметить, что все эти характеристики объектов являются
величинами, т.е. имеют некоторое качество (размерность) и количественное значение.
Рассмотрим высказывание: все металлы электропроводны. Электропроводность это величина. Электропроводны не только металлы, но и полупроводники и даже диэлектрики, только в гораздо меньшей мере. В логике принято рассматривать такие свойства, которыми объект либо обладает, либо не обладает, третьего не дано (т.е. объект не может обладать свойством в некоторой мере). Назовём такие свойства
элементарными свойствами. (Свойство
элементарное не потому, что простое, а потому, что соответствует
элементам множества). Если мы утверждаем что снег белый, то утверждение что снег не белый противоречит первому утверждению. Снег не может быть одновременно белым и не белым. Но, от белого цвета до чёрного цвета - множество разных серых тонов. Такая же ситуация складывается с другими свойствами.
В природе нет элементарных свойств потому, что свойства это величины. Чтобы определить свойство как элементарное, нужно установить пороговую границу, или две границы, т.е. некоторый интервал. Например, так мы можем разделить частоты звуковых колебаний на инфразвук, звук и ультразвук. Если значение величины попадает в данный интервал (или не переходит некоторую границу), то свойство присуще объекту, в противном случае объект не обладает определённым свойством. Далее, деля интервал октавы (граничные частоты этого интервала различаются в два раза) для звуковых частот на двенадцать полутонов, мы получаем хроматическую гамму, звукоряд равномерно темперированной шкалы музыкальных звуков. Настраивая музыкальный инструмент, добиваются того, чтобы частота колебания, например струны, попала с
конечной точностью в некоторый диапазон частот тогда, звук струны будет соответствовать некоторой ноте и иметь соответствующее имя. При этом каждый звук приобретает определённое свойство и ему может быть дано соответствующее имя.
Следует заметить, что в природе существуют такие объекты, для которых значение величины, характеризующей некоторое свойство, может попасть точно на границу интервала (или пороговую границу). От нас зависит, будем ли мы трактовать такие значения как принадлежность к данному свойству или нет. Вообще, принято значения, лежащие на границе интервала, считать принадлежащими этому интервалу, если интервалы смежные, то границу можно считать принадлежащей последующему по порядку интервалу (значение с недостатком). Мы тоже будем придерживаться этого соглашения.
С тем фактом, что свойства объектов природы являются величинами, а в наших рассуждениях свойства представляются как «абсолютные» характеристики этих же объектов, связан «парадокс» Евбулида (4 в. до н.э.). Этот древний грек доказывал, что лысых людей не существует. «Доказательство» основано на том, что, выдёргивая по одному волосу из шевелюры не лысого человека, нельзя сказать, когда он станет лысым. На голове у человека сто с чем-то тысяч волос (нужно определить ещё, что такое голова, т.е. где она начинается или кончается, и как быть с бородой или усами). Если упорядочить в ряд сто с лишним тысяч человек, то нельзя сказать, где в этом ряду появляется лысый человек, ведь у двух, стоящих рядом, лысого и не лысого разность в числе волос на голове всего на 1 волос. Похожая ситуация складывается со свойствами: высокий, молодой, хороший, холодный и т.д.
В логике эти свойства объектов называются неточными или неясными именами. Возникает некоторая безысходность." Конец цитаты.
Так почему "нельзя сказать, где в этом ряду появляется лысый человек..."? Очевидно нужно дать определение лысому человеку, как человеку содержащему
n или меньше волос на голове. Если понятие не определено, то к нему и нельзя применять логику (математику).
Вот ещё пример, который сейчас пришёл в голову: система допусков и посадок. Есть номинальный размер, а есть верхнее и нижнее предельные отклонения. И благодаря этому, становится возможным отличить годную деталь от бракованной. Есть так же калибры: проходной и непроходной, которые и позволяют практически определить границы допустимых размеров детали и ещё в соответствии с классами точности (квалитетами).
