Пространство-время и преобразования Лоренца

[Designer]

Приветствую всех участников форума!
Хочу предложить для обсуждения интересную проблему, связанную с применимостью преобразований Лоренца как математической модели пространства-времени.
Ниже привожу описание проблемы (ссылка на источник: [url=http://web.snauka.ru/issues/2014/02/31429)]http://web.snauka.ru/issues/2014/02/31429)[/url]

Рассмотрим два одинаковых жестких равнобедренных прямоугольных треугольника, которые лежат в одной плоскости и не могут пересекаться. Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета (далее ИСО) S1 (X'Y') нижний треугольник покоится (его катеты параллельны осям координат), а верхний скользит по нему со скоростью V (рис. 1а). На рисунке показано взаимное положение треугольников, когда их левые верхние углы совпадают, т.е. находятся в одной и той же пространственно-временной точке А. Размеры верхнего треугольника меньше в направлении своей скорости вследствие Лоренцева сокращения длины.



Перейдем в ИСО S2 (XY), движущуюся вдоль оси X' (оси X' и X совпадают) с такой скоростью Vx, что в S2 скорость Vy верхнего треугольника (рассчитанная в соответствии с релятивистским правилом сложения скоростей [2 с.75; 3 с.259; 4 с.28; 5 с.89]) параллельна оси Y. Скорость нижнего треугольника в S2 будет параллельна оси X и равна –Vx (рис. 1б). Совмещение левых верхних углов треугольников (точка А) является одноместным и одновременным пространственно-временным событием, поэтому будет таковым в любой ИСО [4 с.18; 5 с.58], это прямо следует из инвариантности пространственно-временного интервала. На рис. 1б показано взаимное положение треугольников в S2 в момент времени, соответствующий событию А (по часам S2). Вследствие Лоренцева сокращения оба треугольника уменьшены в размерах, каждый в направлении собственной скорости – верхний треугольник по оси Y, а нижний по оси X, и их левые верхние углы совпадают в точке А.
Очевидно, что для наблюдателя в S2 правые нижние углы треугольников не могут находиться в одной пространственно-временной точке (совмещаться) ни в прошлом, ни в будущем по отношению к событию А (в противном случае треугольники будут пересекаться, что невозможно, т.к. они представляют собой твердые тела). Однако для наблюдателя в S1 совпадение правых нижних углов треугольников неизбежно. Получаем, что одно и то же событие в одной ИСО происходит, а в другой нет.

Прошу тех, кто с преобразованиями Лоренца и следствиями из этих преобразований знаком не по наслышке, высказать свое мнение.
Готов также ответить на вопросы тех, кого просто заинтересовала проблема.

[sa62]

У вас ошибка.
Вы на 2-м рисунке сократили размер верхнего треугольника... относительно какой ситуации?
Относительно ИСО, в которой этот треугольник покоится. Иначе нельзя - согласно СТО.
Но такую ИСО вы вообще не рассматривали! Откуда вы взяли, что в ней этот треугольник выглядел бы так, как вы изобразили пунктиром?

[Designer]

Source of the post
У вас ошибка.
Вы на 2-м рисунке сократили размер верхнего треугольника... относительно какой ситуации?
Относительно ИСО, в которой этот треугольник покоится. Иначе нельзя - согласно СТО.
Но такую ИСО вы вообще не рассматривали! Откуда вы взяли, что в ней этот треугольник выглядел бы так, как вы изобразили пунктиром?

Вот цитата из условия" "Рассмотрим два одинаковых жестких равнобедренных прямоугольных треугольника, которые лежат в одной плоскости и не могут пересекаться"
Эти одинаковые треугольники изображены также на рис.1а, где нижний треугольник покоится и его разиеры понятны.
Или скажу по другому (чтобы не было взаимного непонимания) - пунктиром на обоих рисунках показаны СОБСТВЕННЫЕ размеры треугольников.

[sa62]

Source of the post Или скажу по другому (чтобы не было взаимного непонимания) - пунктиром на обоих рисунках показаны СОБСТВЕННЫЕ размеры треугольников.

Собственный размер - это размер в той СО, в которой треугольник покоится. Вы картинку для данной СО не представили. Как в ней будет выглядеть нижний треугольник - непонятно. Ни в какой СО оба треугольника не покоятся вместе. Так что вы хотите показать?

[zam2]

Source of the post Прошу тех, кто с преобразованиями Лоренца и следствиями из этих преобразований знаком не по наслышке, высказать свое мнение.
Готов также ответить на вопросы тех, кого просто заинтересовала проблема.

Никакой проблемы нет. Второй рисунок неправильный. Должно быть примерно так:

[Designer]

Source of the post

Source of the post Прошу тех, кто с преобразованиями Лоренца и следствиями из этих преобразований знаком не по наслышке, высказать свое мнение.
Готов также ответить на вопросы тех, кого просто заинтересовала проблема.

Никакой проблемы нет. Второй рисунок неправильный. Должно быть примерно так:

Вид треугольников в любой ИСО мы находим, применяя преобразования Лоренца к координатам его вершин в собственной ИСО S3, т.е. в ИСО, где треугольник покоится. Ничто нам не мешает выполнить обратную процедуру. Применим такой подход к верхнему треугольнику. Если (как вы утверждаете) в S2 верхний треугольник повернут, т.е. его катеты не параллельны осям координат, то он останется повернутым и в собственной ИСО S3, т.к. переход из S2 в S3 происходит только с изменением координат по оси Y (S3 в S2 имеет скорость параллельную оси Y), а это противоречит условию мысленного эксперимента.

Source of the post
Собственный размер - это размер в той СО, в которой треугольник покоится. Вы картинку для данной СО не представили. Как в ней будет выглядеть нижний треугольник - непонятно. Ни в какой СО оба треугольника не покоятся вместе. Так что вы хотите показать?

Уточняю формулировку: Пусть в S1 покоятся два одинаковых соприкасающихся треугольника, как показано на рис. 1а (нижний треугольник показан сплошной линией, а верхний - пунктиром). В некоторый момент времени верхний треугольник начинает скользить вдоль нижнего, при этом его форма меняется в соответствии с Лоренцевым сокращением как показано на рис. 1а сплошной линией ...

[Designer]

Для лучшего взаимопонимания попытаюсь более подробно изложить ситуацию с треугольниками. На рисунке ниже представлены треугольники в разных ИСО. Оси координат всех ИСО параллельны. ИСО (по центру рисунка) – уже описанная ранее ИСО, где нижний треугольник покоится и его катеты параллельны осям (собственная ИСО нижнего треугольника), а верхний по нему скользит и сжат в направлении своей скорости. ИСО (слева) – в этой ИСО верхний треугольник неподвижен и его катеты параллельны осям (собственная ИСО верхнего треугольника), а нижний скользит и сжат в направлении своей скорости.

ИСО и движутся относительно друг друга со скоростью (не параллельной осям координат).
ИСО движется относительно со скоростью, параллельной оси , поэтому нижний треугольник, для которого собственная, сжат только в направлении оси . Ни сжатия по оси , ни поворота быть не может.
Та же самая ИСО движется относительно со скоростью, параллельной оси , поэтому верхний треугольник, для которого собственная, сжат только в направлении оси . Ни сжатия по оси , ни поворота быть не может.

[zam2]

Тут вот какое дело. Вы построили задачку, в которой направление движения одной системы отсчета относительно другой не параллельно оси координат. Не то, чтобы стало очень сложно, но формулы громоздкие, и вряд ли кто будет их подробно выписывать, чтобы правлильно нарисовать картинку.
Без формул можно привести следующие рассуждения.
На рисунке (а) острые углы треугольников лежат на одной прямой, являющейся продолжением гипотенузы неподвижного треугольника, в любой момент времени. События встреч углов подвижного и неподвижного треугольников тоже лежат на этой прямой.
Преобразования Лоренца являются линейными - в них переменные и их штрихованные дубликаты входят в первой степени. Все остальное - константы и линейные операции (сложение, вычитание, умножение на константу). А важнешим свойством линейных преобразований является то, что они прямые линии оставляют прямыми. Следовательно, события, лежащие на прямой, будут лежать на прямой при наблюдении из любой системы отсчета.

[Designer]

Source of the post
Тут вот какое дело. Вы построили задачку, в которой направление движения одной системы отсчета относительно другой не параллельно оси координат. Не то, чтобы стало очень сложно, но формулы громоздкие, и вряд ли кто будет их подробно выписывать, чтобы правлильно нарисовать картинку.

Обратите внимание, что форма треугольников на рис. 1а для полученного в статье вывода не важна, и упираться в ее расчеты смысла нет (хотя это не сложно сделать), важно лишь то, что гипотенузы треугольников остаются параллельными и оба события (встреча левых углов и встреча правых углов обязательно происходят, если это отрицать, то значит отрицать возможность скольжения треугольников вообще). В ИСО S2 скорости отрезков, образующих катеты треугольников и сами эти катеты, параллельны осям координат, поэтому расчитать их изменение не представляет труда. Более того, эти расчеты уже произведены и изложены во всех учебниках

Source of the post
Без формул можно привести следующие рассуждения.
На рисунке (а) острые углы треугольников лежат на одной прямой, являющейся продолжением гипотенузы неподвижного треугольника, в любой момент времени. События встреч углов подвижного и неподвижного треугольников тоже лежат на этой прямой.
Преобразования Лоренца являются линейными - в них переменные и их штрихованные дубликаты входят в первой степени. Все остальное - константы и линейные операции (сложение, вычитание, умножение на константу). А важнешим свойством линейных преобразований является то, что они прямые линии оставляют прямыми. Следовательно, события, лежащие на прямой, будут лежать на прямой при наблюдении из любой системы отсчета.

Совершенно с вами согласен, все события встреч точек гипотенуз треугольников будут лежать на одной прямой, проблема только в том, что для любого такого события (отличного от точки А) мгновенное положение треугольников будет таким, что левые части треугольников будут пересекаться.

[Designer]

Всех с наступающим праздником !
На выходных мне интернет будет недоступен, поэтому до понедельника.