Рубен писал(а):Source of the postPonomaryov писал(а):Source of the post
Дальше продолжим, когда обоснуете математическую безупречность того, как "работает" последнее вытекающее из обсуждаемого общепринятого определения производной по направлению определение косинуса угла между векторами и .
Самое смешное то, что первое равенство в общем случае неверно (верно, если поверхность уровня -- n-мерная сфера), а второе - верно всегда. Причем, второе вообще никак не связано с первым, более того, оно вполне очевидно и доказывается без всяких дурацких градиентов.
1) Совершенно ясно, что вектора и образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой . Так же очевидно, что вдоль любой (в общем случае кривой) непрерывной линии . Тогда угол между векторами и найдется по теореме Пифагора:
2) То же самое, но более формально. Производная радиус-вектора по любому направлению равна: .
Скалярно умножаем последнее равенство на (т.е. проецируем на радиус-вектор, в отличии от ТС-а, опрометчиво проецировавшего равенство на градиент, который не всегда коллинеарен радиус-вектору):
3) Еще, для разнообразия, это можно доказать через уравнение прямой в векторной форме. Расстояние от любой точки на прямой до начала координат выражается формулой:
тут - расстояние от прямой до начала координат, . Тогда:
_____________________________________________
Единственное, что так и осталось неясным, что же всё-таки хотел ниспровергнуть ТС в этой теме?
Самое смешно, что
1) Совершенно ясно, что пример оппонента о проектировании дифференциала радиус-вектора на направление не соответствует рассматриваемому в учебнике определению
"Производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции
на единичный вектор этого направления.
Производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е
– угол между векторами и лучом (рис. 149)." [Бермант-Арманович, изд. 1971 года, стр. 427]
производной по направлению.
2) В очередной раз оппонент, безуспешно пытаясь как наперстками манипулировать порядком ортов в их произведении (говоря о скалярном домножении равенства на орт , "гений" ставит его в произведении с ортом на первое место), что-то опрометчиво проектирует на радиус-вектор (в его цитате произведение приведено в соответствие с формулируемым оппонентом условием домножения, а значит и проектирования на ), в отличие от данных учебника, в определении которого речь ведется о проектировании вектора градиента на произвольное направление дифференцирования . Если бы оппонент знал, о чем идет речь в учебнике, он не совершал бы опрометчивых поступков проектирования на , предлагая скалярно умножать последнее равенство на и получая между гипотенузой и прилежащим катетом .
Его пустословие о том, что ТС что-то проецировал на градиент, не заслуживает внимания по причине ложности данного заявления.
3) Наконец, для разнообразия, "знаток математики" решил потешить почтенную публику "глубиной" собственных знаний по теме дифференциальных уравнений первого порядка, родив "шедевр"
,
отражающий, скорее всего, все, чему он научился "работая" на форумах.
В итоге, преобразуя "достижение" оппонента в вид
,
имеем закономерный финиш бурной деятельности оппонента на ниве "кручу-верчу, обмануть всех хочу"
,
но, правда, единственное, что так и осталось неясным: что и на что он проектирует в этом случае? А жаль…