Чисвальное исчисление

[vladyur]

Мир прошел три числовые эпохи:
1. Целых чисел.
2. Дробных чисел.
3. Десятичных чисел в линейной (арабской) транскрипции
И находится в четвертой эпохе двоичных чисел и компьютерного их исчисления.

Каждой числовой эпохе соответствует своя технологическая эпоха.

Казалось бы, проблема чисел решена и ничего нового быть не может.
Но это не так.
Для того, чтобы понять, почему нужны новые числа, рассмотрим вопрос - откуда вообще берутся числа7
И если подумаем, то увидим, что есть два главных источника чисел.
1. Счет. Считаем стулья, людей, деньги и пр. Для этого используются целые числа. И никаких проблем тут нет.
2. Измерение. Мы измеряем уже даже в быту время, расстояние, температуру, массу, частоту, напряжение и много других величин. И область измерительной информации все нарастает. Мы можем сказать, что мы живем в эпоху информации и метрологии.
Но какими же математическими институциями описываем мы результаты измерения?
Результаты измерения описываем мы вещественными числами. Например, мы говорим, что масса равна 5.86 кг, напряжение 0.345 В и т.д. Это все вещественные числа.
Но!!! результат измерения характеризуется не только номинальной величиной. Есть еще одна важнейшая характреиристика измерительной информации. Это метрологическая характеристика. Она может иметь различные виды: относительная и абсолютная погрешность, интервал, среднеквадратичное отклонение, распределение и т.д. Поэтому можно сказать, что результат измерения не может быть описан единственной числовой характеристикой. Он имеет как минимум две компоненты.
Но вещественные числа, которые используются для математической характеристики результатов измерения, не могут содержать в себе сразу две числовые характеристики. Другими словами, вещественные числа не пригодны для описания результатов измерений.
И это все больше и больше осознается на самых различных уровнях. Например, ни один физический журнал не примет измерительные данные только в виде числовых вещественных чисел без метрологической характеристики. В машиностроении метрлогические числа используют в виде допусков и посадок. Даже колбасники уже ставят на упаковках колбасы метрологические характеристики. Все приборы имеют класс точности и соответственно и все измеренные величины на них обладают некоторой индуцированный метрологией. Фактически, мы должны сказать, что измерение имеет математический формат некоторого МЕТРОЛОГИЧЕСКОГО числа.
И стоит задача создания описания метрологических чисел и правил действия с ними. Речь фактически идет о создании новых чисел, новой теоретической математики, новой вычислительной математики, нового числового инжиниринга, т.е. способов и правил использования этих чисел в практике.
Для решения первой задачи - экономного и адекватного описания метрологических чисел и предложена математическая институтция ЧИСВАЛА. Чисвал - это единство числа и интервала. Десятичный чисвал записывается в виде mEp'r. Здесь m - целое десятичное число, мантисса чисвала, Е - основание системы счисления 10, р - целое десятичное число - степень чисвала, апостроф признак чисвала, к - одноразрядное натуральное десятичное число - акцидент чисвала. Числовая компонента десятичного чисвала равна m*10^p, а интервал имеет центром число и равен +-r*10^p.
Мы видим, что акцидент выражается одноразрядным числом. Это можно принять на основе главного закона метрологии, который образно можно выразить: "точность не надо знать с большой точностью". Действительно, нет у нас приборов с точностью 2,3456%, а есть только 1, 2, 5, и т.д. %. Ни один метролог не поймет вас, если вы скажете, что погрешность измерения равна 2.13456 м. Для описания погрешности вполне достаточно одноразрядного десятичного числа, а данном случае 2.
Таким образом, мы видим, что в чисвале существует взаимосвязь числа и интервала.
Но наибольшее значение имеют бинарные чисвалы. Они записываются гораздо проще ввиду существования единственного одноразрядного числа 1, которое можно не писать поэтому. Таким образом, бинарный чисвал состоит из двух целых чисел и записывается в виде mBp'. mBp есть вещественное двоичное число бинарного чисвала, а 1*2^(p-1) - полуширина (амплитуда) интервала.
Почему же до сих пор в компьютерной технике при обработке измерительных данных до сих пор используются вещественные числа, а не метрологические?
Дело в том. что до недавного времени основным способом "очисления", т.е. превращение некоторого действия в измерительном приборе в число было антропное очисление (иногда называют его аналоговым). Осуществляли это очисление как правило лаборанты, которые не могли одновременно определить и номинал измерения, и его метрологическую характеристику.
Но в последние десятилетия произошла революция в метрологии. Все больше измерительных устройств используют электронное очисление. Это так называемые "цифровые" приборы. И вот они непосредственно дают на бинарном выхрде как раз чисвалы, т.е. мантиссу и степень, которая выполняет две функции - дает масштаб измерения и показывает погрешность (интервал) измерения.
Но в современной вычислительной математике этот чисвал для обработки превращают в вещественное число (число с плавающей запятой) путем сдвига мантиссы влево. Мантисса чисвала правоприжатая, а вещественного числа - левоприжатая. И это создает совершенно разные математические институции.
Таким образом, задача состоит в построении чисвального исчисления.

[zykov]

Есть более общая вещь - Теория вероятностей.
Там не только интервал, а целое распределение.

[kkdil]

Source of the post Мир прошел три числовые эпохи:
1. Целых чисел.

Сначала были натуральные. Потом появились целые.

Source of the post 2. Дробных чисел.

Видимо речь идет о рациональных.

Source of the post 3. Десятичных чисел в линейной (арабской) транскрипции

Видимо речь идет о БДД (бесконечных десятичных дробях). Да такое встречается в учебниках для инженерных факультетов. Только даже там о транскрипциях не упоминается, БДД не могут быть записаны, они бесконечны. Ознакомтесь с терией Дедекинда - Вам будет просветление. Или не будет.

Source of the post Другими словами, вещественные числа не пригодны для описания результатов измерений.

Это правда, поскольку вещественные числа вообще не могут быть отображены ни в какой "нотации".

Source of the post Например, ни один физический журнал не примет измерительные данные только в виде числовых вещественных чисел

Числовые числа - это красиво. Действительно ни один журнал не примет результаты измерений в виде вещественного числа - бумаги не хватит.

Source of the post Ни один метролог не поймет вас, если вы скажете, что погрешность измерения равна 2.13456 м

Представте мне такого метролога

[geh]

Я хотел бы уточнить пару вещей.
1) вы забыли упомянуть комплексные числа
2) в практике человек применяет только конечные рациональные числа
а никак не вещественные
3) собственно говоря, если к примеру задано рациональное число (конкретно)
3,141592 , то мы считаем, что все цифры этого числа верные (если не сказано
противное), иными словами вместе с каждым числом задается и его погрешность.
Вопрос: что тогда нового будет в представлении подобных чисел?
Мой ответ: ничего!
4) двоичные числа, как были в компьютере, так в нем и останутся и на
банкнотах не будут печатать 1100100 вместо числа 100 (сто)!!