AV_77 писал(а):Source of the post Новую аксиому 1.1 можно оставить, а дальше начать сразу с аксиомы 2.1. После этого ввести понятие отрезка, луча и прямой - как множество соответствующих точек. Так получится утверждение, что через любые 2 точки проходит хотя бы одна прямая. И т.д. Может что-то и получится, кто знает.
2. Основные понятия и определения.
К основным понятиям отнесем основные объекты и отношения, приведенные ниже.
Основные объекты:
1) точки;
2) фигуры;
3) геометрическое преобразование (преобразование).
Основные отношения:
1) точка А принадлежит фигуре F;
2) точка В лежит между точками A, C (это же отношение можно формулировать: точка В лежит между точками C, A и обозначать A.B.C или C.B.A);
3) точка A лежит слева (справа) от точки B при точке зрения C;
4) геометрическое преобразование (преобразование) f сопоставляет точке А точку А1;
5) фигура F1 равна фигуре F2;
Введем определения, необходимые для формулирования аксиом.
2.1. Будем говорить:
1) фигура F1 принадлежит фигуре F2, или фигура F2 содержит фигуру F1, если каждая точка фигуры F1 принадлежит фигуре F2;
2) фигуры Fi (i = 1, 2…n) образуют фигуру F, если каждая из фигур Fi принадлежит фигуре F и у F нет точек, не принадлежащих хотя бы одной из фигур Fi;
3) фигуры F1 и F2 различны, если существует хотя бы одна точка, принадлежащая только одной из этих фигур;
4) фигуры F1 и F2 одна и та же фигура, или фигуры F1, F2 тождественны (обозначая F1?F2), если они образованны одними и теми же точками;
5) фигура F существует, если существует каждая точка этой фигуры.
3.Аксиомы, постулат, определения.
3.1 Аксиомы существования и принадлежности.
Аксиома1
1. Существует по крайней мере две точки. Каждой фигуре принадлежит по крайней мере одна точка. Точка есть фигура. Она принадлежит себе, и никакие другие точки ей не принадлежат.
Аксиома1
2 (аксиома двух точек). Для любых двух точек A, B существует по крайней мере одна точка C, лежащая между точками A,B (A.C.B) и точки D,E такие, что точка A лежит между точками D,B ( D.A.B) и точка B лежит между точками A,E (A.B.E), а также такая точка G, что ни одна из точек A,B,G не лежит между двумя другими из этих точек.
Будем говорить, что три точки связаны отношением "лежит между", если одна из них лежит между двумя другими из этих точек и не связаны этим отношением, если ни одна из них не лежит между двумя другими данными точками.
Фигуру, образованную точками, лежащими между точками А.В будем называть промежутком АВ или ВА и обозначать (АВ) или (ВА). Точки А,В называют граничными точками этого промежутка.
Отрезком AB или BA назовём фигуру, образованную точками A, B и точками, лежащими между ними. Точки A,B называются концами или крайними точками отрезка AB. Отрезок AB обозначаем [АВ] или a, в, …
Если концами отрезка является одна и та же точка А, то отрезок будем называть нулевым отрезком и обозначать A.
Прямой АВ или ВА назовём фигуру, образованную точками А,В и точками, связанными отношением ｫлежит междуｻ с точками А,В. Прямую АВ будем обозначать АВ или а, в…
,Будем говорить:
1) точки B, C лежат в противоположных направлениях при точке зрения А (направления A.B и A.С противоположные, или точки В,С противолежат при точке зрения А), если точка А лежит между точками B,C (обозначаем как и отношение ｫлежит междуｻ B.A.C или C.A.B);
2) точки B, C лежат в одном направлении при точке зрения А (обозначаем A?B.C или A?C.B) или точка В (С) лежит в направлении А.С (А.В) или А.В и А.С одно и то же направление или точка В (С) лежит в том же направлении,что и точка C(B), если точка A связана отношением "лежит между" с точками B,C и не лежит между ними.
Лучом АВ назовём, обозначая [АВ или а,вфигуру, образованную точками А,В и точками Х, лежащими в направлении А.В (то есть А?В.Х). Точка А называется началом луча.
Два луча с началом в точке О назовём противолежащими, если каждая точка одного из этих лучей противолежит каждой точке другого луча при точке зрения О.
3.2 Аксиомы взаимного расположения точек.
2.1. (Аксиома трёх точек). Среди любых трёх точек существуют не более одной точки, лежащей между двумя другими из этих точек.
2.2 (Аксиома единственности противоположного направления). Если точки В,С противолежат точке А при точке зрения О, то точки В,С, лежат в одном направлении при точке зрения О. (Если А.О.В. и А.О.С, то О ? В.С).
2.3. (Аксиома противолежания). Если точка А противолежит точке В при точке зрения О и точки В,С лежат в одном направлении при точке зрения О, то точке А противолежит также и точка С при точке зрения О. (Если А.О.В и О?В.С, то А.О.С).
3.3. Общие определения. Аксиомы плоскости.
Углом называется фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Лучи, образующие данный угол, называются сторонами этого угла, а общее начало этих лучей вершинной угла. Угол, образованный лучами ОА (а) и ОВ (в) будем обозначать ?АОВ (?ав) или ?ВОА (?ва).
Угол, образованный тождественными лучами ОА и ОВ, будем называть нулевым, и обозначать ?АОВ или α.
Угол, стороны которого являются противолежащими лучами, называется развернутым.
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие противолежащие лучи.
Угол, равный своему смежному, называется прямым.
Два угла называются вертикальными, если стороны каждого из этих углов являются противолежащими лучами для сторон другого угла.
Пусть точки A,B,C не связаны отношением ｫлежит междуｻ. Каркасом АВС назовём фигуру, образованную прямыми АВ, АС и ВС.
Плоскостью АВС назовём фигуру, образованную прямыми, имеющими по крайней мере две общие точки с каркасом АВС (обозначаем ÷АВС, также ÷α,β.. ).
Будем говорить, что точки А,В плоскости α лежат в противоположных сторонах от прямой аﾎα,если точка зрения, при которой точка А(В) противолежит точке В(А) принадлежит прямой а и лежат по одну сторону от прямой а если эта точка зрения не принадлежит прямой а.
Полуплоскостью АВС назовём фигуру, образованную прямой АВ и точками плоскости АВС, лежащими по одному сторону с точкой С от прямой АВ (обозначаем??АВС). Прямая АВ называется граничной прямой полуплоскости АВС.
Фигуру, образованную точками полуплоскости АВС, не принадлежащими прямой АВ, назовём открытой полуплоскостью.
Будем говорить, что полуплоскости α и α1, ограниченные прямой а лежат в противоположных сторонах от прямой а или являются противолежащими, если каждая точка полуплоскости α и каждая точка полуплоскости α1, не принадлежащие прямой а, лежат в противоположных сторонах от этой прямой.
Внутренней точкой фигуры, принадлежащей прямой, назовём точку, лежащую
между двумя другими точками этой фигуры.
Будем говорить:
1) две фигуры каждая, из которых принадлежит прямой, пересекаются, если они имеют единственную общую внутреннюю точку;
2) плоскость и фигура, принадлежащая прямой, пересекаются, если одна внутренняя точка этой фигуры принадлежит данной плоскости;
3) две плоскости пересекаются, если они имеют единственную общую прямую;
4) две пересекающиеся прямые перпендикулярны, если лучи этих прямых с началом в точке пересечения образуют прямой угол;
5) прямая перпендикулярна плоскости, если она пересекает плоскость и перпендикулярна всякой прямой этой плоскости, содержащей точку пересечения;
6) точка М лежит между лучами ОА и ОВ (ОВ и ОА), обозначая [ОА.М. [ОВ или [ОВ.М. [ОА, если существуют точки А1?[ОА и В1?[ОВ, для которых верно А1.М.В1;
7) Луч ОМ лежит между лучами ОА и ОВ, обозначая [OA. [OM. [OB или [OB. [OM. [OA, если каждая точка луча ОМ, отличная от точки О, лежит между лучами ОА и ОВ;
Аксиомы плоскости.
Аксиома 3.1. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют также общую прямую, содержащую эту точку. [4]
Аксиома 3.2. Если точки А,В,С не принадлежащие одной прямой, принадлежат плоскости DEG, то плоскость DEG принадлжит плоскости АВС и плоскость АВС принадлежит плоскости DEG.
Аксиома 3.3. Для каждой точки произвольной плоскости существует единственная прямая, содержащая эту точку, перпендикулярная данной плоскости.
3.4. Определения и аксиомы ориентации.
Если точка У лежит слева (справа) от точки Х при точке зрения Z, то будем говорить также, что точка У лежит слева (справа) при направлении зрения Z.X (при направлении зрения из точки Z в точку Х).
О точках, лежащих в направлении О.А будем говорить, что они лежат спереди при направлении зрения О.А; о точках, лежащих в направлении, противоположном направлению О.А лежат позади при том же направлении зрения.
Пусть OZ?OX1 направления зрения Z.X и Z.X1 будем называть противоположными, если верно Х.О.Х1.
Направление зрения, заданные одной и той же парой точек с различным порядком, будем называть взаимно обратными.
Аксиома ориентации. Пусть ОZ?÷OXУ.Тогда:
1) при направлении зрения Z.X каждая точка открытой полуплоскости ОХY лежит слева (справа), а каждая точка полуплоскости, противолежащей полуплоскости ОХУ ? справа (слева);
2) если точка У лежит слева (справа) от точки Х при точке зрения Z, то точка Х лежит справа (слева) от точки У при точке зрения Z;
3) если точка У лежит слева (справа) при направлении зрения Z.Х, то она лежит справа (слева) при направлении зрения обратном или противоположном к Z.Х.
3.5 Определения и аксиомы преобразования.
3.6 Определения и аксиомы равенства.
