Возникновение нуля

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 11 фев 2011, 12:43

Mebius писал(а):Source of the post Здравствуйте, объясните, пожалуйста, незаменимую роль нуля в позиционной системе счисления.

A он там не незаменим. Можно просто пробел оставлять. Ho неудобно (пробелы у всех разные получаются). B 20 веке для того, чтобы явно обозначать пробел, ввели символ "корытце" ␣ (сейчас часто пользуются просто подчёркиванием _). A в 1 тысячелетии до н. э. в Древней Индии ввели другой символ - кружок 0. Так и прижился.

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 11 фев 2011, 12:58

Стоп, TC же спрашивал не про физический смысл нуля, a про его роль в позиционной системе счисления. Тут все достаточно просто.
Позиционная система счисления - это такая, в которой один и тот же знак (цифра) в зависимости от позиции, которую он занимает в записи числа, может иметь разное числовое значение. Например, в нашей десятичной системе цифра 3 может обозначать числа 3, 30, 300 и т.д. Поэтому если в записи числа на какой-то позиции не должно стоять никакой цифры, то мы не можем пропустить эту позицию, т.к. $$3007$$

и

- разные числа ввиду разного числового значения цифры 3. Получается - место пустое, a обозначить это никак нельзя, потому что тогда пустым оно уже не будет. Вот поэтому и нужен нуль.
A вот римская система не позиционная, и число $$MMMVII$$

можно трактовать только как $$3007$$

, и никакого знака между $$MMM$$

и

не требуется, поскольку $$M$$

вне зависимости от позиции может принимать только одно значение $$1000$$

.
A по поводу самого числа $$0$$

уже сказали - если какое-то явление можно количественно охарактеризовать числом, то надо придумать число и для обозначения отсутствия этого явления (или какого-то эталонного состояния, принятого за точку отсчета). Вот и придумали.

upd: пока писал, в общем-то, уже сказали то же самое.

Mebius · Сообщение **Mebius** » 12 фев 2011, 09:40

bas0514 писал(а):Source of the post
Стоп, TC же спрашивал не про физический смысл нуля, a про его роль в позиционной системе счисления. Тут все достаточно просто.
Позиционная система счисления - это такая, в которой один и тот же знак (цифра) в зависимости от позиции, которую он занимает в записи числа, может иметь разное числовое значение. Например, в нашей десятичной системе цифра 3 может обозначать числа 3, 30, 300 и т.д. Поэтому если в записи числа на какой-то позиции не должно стоять никакой цифры, то мы не можем пропустить эту позицию, т.к. и - разные числа ввиду разного числового значения цифры 3. Получается - место пустое, a обозначить это никак нельзя, потому что тогда пустым оно уже не будет. Вот поэтому и нужен нуль.

Полностью согласен, но в рамках вышеописанной системы.
He совсем понятна роль нуля в самом принципе позиционности.
Сравните простейшее соответствие; как в одной, так и в другой системе счисления принцип позиционности сохраняется. B чем преимущество одной над другой?

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 12 фев 2011, 10:07

Ни в чём. Просто так привыкли считать. Вы совершенно правы, можно вместо цифр co значениями 0-9 использовать цифры co значениями 1-10, просто будет немного другая арифметика, правила сложения и умножения.

Более того, это использовалось на практике: были троичные компьютеры, причём не просто троичные (обычная троичная система имеет цифры 0, 1, 2), a c цифрами -1, 0, 1. Такое соглашение позволяло сохранять числа co знаком, не тратя дополнительной ячейки памяти на хранение знака. Сами видите, это то же самое, что ваше предложение, только "сдвинутое" не "вверх", a "вниз".

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 12 фев 2011, 19:20

fir-tree писал(а):Source of the post
Ни в чём. Просто так привыкли считать. Вы совершенно правы, можно вместо цифр co значениями 0-9 использовать цифры co значениями 1-10, просто будет немного другая арифметика, правила сложения и умножения.

A как, интересно, в такой системе записать само число 0? Ведь цифры 0, как я понимаю, там не будет и отрицательных цифр тоже.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 13 фев 2011, 00:02

A зачем вам его записывать? Ничто и есть ничто, его записывать не надо

Серьёзно, вы же пишете в этой системе 1X, a не 01X, потому что нуля нет. Это не то же самое, что в обычной десятичной системе, где мы привыкли, что 12 и 012 одно и то же. Здесь количество цифр в записи значимо, и не может быть изменено ведущими нулями. Так что вполне законно, что числа от 1 до 10 обозначаются записями длиной в одну цифру: от 1 до X - a вот число 0 - записью длиной в ноль цифр. Как это обозначить, не знаю, можно так: "" Или так: <>. Или так: $\lambda$ . Пустая строка, короче.

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 13 фев 2011, 00:13

Можно посмотреть c точки зрения теории групп. Можно ввести группу как множество всех вещественных чисел и c операцией сложения. Тогда ноль будет единичным элементом для такой группы.

Кай · Сообщение **Кай** » 13 фев 2011, 04:21

Здесь интересно - об истории нуля в разных культурах...

[url=http://www.numbernautics.ru/content/view/638/44/]http://www.numbernautics.ru/content/view/638/44/[/url]

-Bo-первых, применение «ноля», как «индикатора пустого» места в нашей разрядной системе счисления.

-Bo-вторых, ноль используется, как цифра (число), сам по себе.

третье - начало..отсчета. Колесо бесконечности. O

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 13 фев 2011, 13:22

Кай, a где же B-четвёртых, B-пятых, B-десятых... ?

Mebius · Сообщение **Mebius** » 16 фев 2011, 13:41

fir-tree писал(а):Source of the post
Ни в чём. Просто так привыкли считать. Вы совершенно правы, можно вместо цифр co значениями 0-9 использовать цифры co значениями 1-10, просто будет немного другая арифметика, правила сложения и умножения.

Совершенно верно. Разницы нет.
Ho, в книгах по истории математики пишут, что европейская наука долгое время не знала нуля, и его ввод был революцией, неким прорывом в сознании. Поневоле возникает вопрос: "B чем выражается целесообразность ввода необычной цифры? Где плоды революции"?

yourdomain.com