Решить иррациональное уравнение.

geh · Сообщение **geh** » 31 дек 2013, 10:26

Дано уравнение:
$\sqrt x+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}+\sqrt{x+9}=a$
где a - параметр. Требуется его решить приближенно. (точность? какая получится)
Можно сразу найти одно решение: при a=6 x=0
Было бы неразумно возводить это уравнение трижды в квадрат. Четыре радикала не помеха.
любой из них всегда можно убрать, например сделать подстановку $$x=y^2$$

, но получим мы
уравнение восьмой степени, которое более громоздко, чем наше. Попробуем решить это уравнение
по частям. Разложим его в ряд Тейлора, оставляя только x а первой степени. Имеем:
$\sqrt x+(1+\frac x2)+2(1+\frac x8)+3(1+\frac x{18})=a$
или
$\sqrt x+6+\frac{11}{12}x=a$
это простое квадратное уравнение относительно $\sqrt x$ , решая его получим
$x=\frac{36}{121}\left(\sqrt{1+\frac{11}3(a-6)}-1\right)^2$
пошли дальше.
Попробуем получить теперь асимптотическое решение этого уравнения
Заменяя все радикалы на меньший ( $\sqrt x$ ) получим неравенство
$4\sqrt x \le a$ или $x \le (\frac a4)^2$
аналогично можно получить и второе неравенство
$4\sqrt{x+9} \ge a$ или $x \ge (\frac a4)^2-9$
Итак мы имеем двойное неравенство
$(\frac a4)^2-9 \le x \le (\frac a4)^2$
из этого неравенства следует решение
$x=(\frac a4)^2-b$
где $b\in(0;9)$
можно попробовать взять b=2,25, чтобы привязать решение к нашему уравнению
ведь при a=6 x=0. Можно. Но это не самое лучшее решение. Элементарный расчет
показывает, что лучше взять b=3,3.
то есть решение выглядит так
$x=\left(\frac a4\right)^2-3.3$
в этой формуле относительная погрешность при a>14 составляет всего 0,4%. Мало того
погрешность уменьшается пропорционально квадрату параметра a!! (фантастика!)
остался еще небольшой кусок (интервал) где решение ещё не найдено, полагаю, что это
не проблема. Надо рассмотреть функцию x=x(a). Это возрастающая вогнутая без каких-либо
особенностей функция. Возьмите ее три точки и решение практически в ваших руках
(ряд Тейлора применять не советую - замучают производные)

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 31 дек 2013, 12:41

А вера не позволяет открыть любую книгу по методам вычислений и восхититься, до чего техника дошла?

zykov · Сообщение **zykov** » 31 дек 2013, 17:59

geh писал(а):Source of the post Попробуем решить это уравнение
по частям. Разложим его в ряд Тейлора, оставляя только x а первой степени.

Через ряд Тейлора уравнение не решить.
Если задача другая, найти апроксимацию функции заданой не явно в виде уравнения, то тут ключевым будет определится, в какой области и какой точности апроксимация нужна.
А вообще конечно есть книги по вычислительной математике и стоит просто почитать, чтобы время по пусту не тратить.

geh · Сообщение **geh** » 01 янв 2014, 06:50

Я не трачу время даром. Одна такая самостоятельно решенная задача
стоит многих "прочитанных" задач, ведь собственный опыт ничто не заменит,
но спасибо вам за совет. К сожалению хорошую книгу практически невозможно
достать. Вперед, только вперёд, каждая решенная задача - шаг за "горизонт" !!

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 01 янв 2014, 10:06

Это глупости. Вы зря тратите время. Начиная с того, что у Вас нет четко поставленной задачи. Что вы понимаете под приближенным решением? А как ставятся задачи - плиз в литературу. Есть много интересных нерешенных задач, а Вы тратите свое время на попытку примитивно сформулировать простейшие понятия.

Андрей А.

Hottabych, скажите в каком учебнике написано, как решить в натуральных числах уравнение $x_1^2+x_2^2+x_3^2=\frac{y_1^2+y_2^2+y_3^2}{2}$ ?
Сумму в левой части можно считать для определенности достаточно большим нечетным $\neq 7\ (mod\ 8)$ , тогда как минимум одно решение имеется.
Ну, или хотя бы найти тождественную связь типа $a^2+b^2=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}$ . Всех с Новым Годом!

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 01 янв 2014, 15:49

А какое отношение имеет этот пост к теме разговора?

Андрей А.

К теории чисел имеет. И к теме - тоже, поскольку разговор получается об учебниках.

zykov · Сообщение **zykov** » 01 янв 2014, 22:00

geh писал(а):Source of the post Одна такая самостоятельно решенная задача стоит многих "прочитанных" задач...

Само собой нужно решать самостоятельно. Для этого и есть задачники.
Но в данном случае не соглашусь. Вы ни задачу грамотно сформулировать не можете, ни решение. Так что чтение учебника - необходимость.
1) Задача может формулироватся, как численное решение уравнения. Тут как правило решением будет итерационный алгоритм. Чем больше итераций, тем точнее решение. Оценка точности от числа итераций тоже является частью решения. Например для вычисления квадратного корня (решения уравнения $$x^2=a$$

) можно использовать алгоритм $x_{n+1}=\frac{x_n+a/x_n}{2}$ . Общий метод тут - метод Ньютона. Есть методы и попроще, как например деление пополам (тут асимптотика сходимости меньше, чем у Ньютона).
2) Задачу можно формулировать, как апроксимация функции заданой неявно. Тут тоже существенной частью решения будет оценка точности апроксимации. А в задачу входит область апроксимации, требования по точности, вид апроксимирующей фукции (алгебраическое выражение, алгоритм и т.д.). Могут быть и другие требования, как непрерывность или гладкость, асимптотика ошибки в окрестности точки или на бесконечности, сложность вычисления и прочее.

Всё это нужно понимать, чтобы осознанно решать. А при решении практических задач нужно чётко определится с тем что требуется. Отсюда и будет следовать вид решения и компромис например между скорость вычисления и точностью.

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 01 янв 2014, 22:08

Андрей А. писал(а):Source of the post
К теории чисел имеет. И к теме - тоже, поскольку разговор получается об учебниках.

Разговор ни о чем и за жизнь - это к философам или в пивбар. Если есть чего сказать по теме - пожалуйста.

yourdomain.com