Задачка с поездом

Dredd · Сообщение **Dredd** » 20 фев 2016, 05:31

Придумалась такая задачка с поездом Эйнштейна.

C движущейся дрезины, когда она равняется с платформой, стреляет световая пушка в мишень, которая перпендикулярна направлению движения дрезины.
Для наблюдателя с платформы, луч света летит прямо в мишень, и попадает в нее. Для наблюдателя с дрезины, мишень смещается влево, и луч света проходит мимо.

12d3 · Сообщение **12d3** » 20 фев 2016, 06:03

Хорошая задачка, только больно простая. Сами сможете решить?

Dredd · Сообщение **Dredd** » 20 фев 2016, 06:06

Нет, сам не могу. Уверен, что такая задачка не мне первому в голову пришла, поэтому интересно - как ее решили?

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 20 фев 2016, 07:19

magnus-crank

А что тут решать? Представьте вместо луча света маленький шарик с постоянной скоростью. Получившаяся картина будет очень похожа на ответ. Потом надо будет сделать только одну поправку - линейная скорость такого "шарика" будет одинакова и с точки зрения дрезины и с точки зрения платформы.

12d3 · Сообщение **12d3** » 20 фев 2016, 07:28

Ну давайте вместе.
Определим физическую ситуацию в СО дрезины.
Направим ось $$Ox$$

вдоль путей, положительное направление вправо. Мишень пусть находится на расстоянии $$L$$

от путей и движется в отрицательную сторону оси $$Ox$$

со скоростью, по модулю равной $$v$$

. Сама дрезина в этой СО стоит на месте. Логично, что машинист друзины должен стрелять чуть раньше, чем дрезина поравняется с мишенью, дабы попасть в нее. Найдем, в какой момент он должен выстрелить.
Пусть уравнение движения дрезины $x'=-vt',\,\,y'=L$ . Лабораторная СО у нас будет нештрихованная, а СО дрезины - штрихованная. В момент времени $$t'_0$$

дрезина стреляет, и уравнение движения сигнала будет таким: $x'=0,\,\,\,y'=c(t'-t_0')$ . В некий момент времени координаты сигнала и мишени должны совпасть, получаем систему $\left\{\begin{matrix} -vt' = 0\\ L = c(t'-t'_0) \end{matrix}\right.$ . Исключая из системы $$t'$$

, найдем

. Он равен $t'_0 = -\frac{L}{c}$ . И соответственно, из первого уравнения $$t' = 0$$

- это момент времени, когда сигнал настигнет мишень. Этого достаточно, чтобы полностью описать систему,
Итак, у нас есть два события:
1) $x_0' = 0,\,\,y_0' = 0,\,\,t_0' = -\frac{L}{c}$ . Это событие "сигнал вылетел из дрезины".
2) $x_1' = 0,\,\,y_1' = L,\,\,t_1' = 0$ . Это событие "сигнал долетел до мишени".
И еще есть три уравнения движения
1) Дрезина $x'(t') = 0,\,\,y'(t') = 0$
2) Мишень $x'(t') = -vt',\,\,y'(t') = L$
3) Сигнал $x'(t') = 0,\,\,y'(t') = c\left(t'+\frac{L}{c}\right)$
Теперь нам надо пересчитать это все из штрихованной СО в нештрихованную.
Тупо используем преобразования Лоренца $\left\{\begin{matrix} x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ y' = y\\ t' = \frac{t-\frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{matrix}\right.$
Я для примера пересчитаю координаты первого события и первое уравнение движения, а второе событие и остальные два уравнения движения предлагаю сделать вам.
Итак, выражаем штрихованные координаты первого события через нештрихованные:
$\frac{x_0-vt_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 0,\,\,y_0= 0,\,\, \frac{t_0-\frac{vx_0}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = -\frac{L}{c}$
Решаем эту систему относительно переменных $$x_0,y_0,t_0$$

, получим $x_0 = \frac{-Lv}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\,\,y_0= 0,\,\, t_0 = \frac{-L}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Теперь пересчитаем уравнение движения дрезины также тупо выражаем штрихованные координаты через нештрихованные:
$\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 0,\,\,y= 0$
Отсюда следует $x(t)=vt,\,\,\,y(t)=0$ .
Остальное сможете сами, по образу и подобию? Если будут затруднения, я помогу.

Dredd · Сообщение **Dredd** » 20 фев 2016, 07:32

grigoriy писал(а):Source of the post Вы хотя бы Paint освоили - куда как проще, чем СТО.

Тут в динамике надо для наглядности рисовать.

magnus-crank писал(а):Source of the post Потом надо будет сделать только одну поправку - линейная скорость такого "шарика" будет одинакова и с точки зрения дрезины и с точки зрения платформы.

Только с точки зрения платформы мишень неподвижна, и шарик в нее попадет. А с точки зрения дрезины, в ее, так сказать ИСО, мишень смещается в сторону, и шарик мимо летит.

magnus-crank

Dredd писал(а):Source of the post magnus-crank в 20.02.2016, 10:25 написал(а): link
Потом надо будет сделать только одну поправку - линейная скорость такого "шарика" будет одинакова и с точки зрения дрезины и с точки зрения платформы.Только с точки зрения платформы мишень неподвижна, и шарик в нее попадет.

С какой стати? Вообще, обычный шарик попадет или нет? Или вы даже шарик (под)бросить не можете?

Dredd писал(а):Source of the post А с точки зрения дрезины, в ее, так сказать ИСО, мишень смещается в сторону, и шарик мимо летит.

Ну а с точки зрения платформы дрезина смещается относительно мишени, что с точки зрения принципа относительности движения, введенного ещё Галилеем, одно и то же.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 20 фев 2016, 12:24

Dredd писал(а):Source of the post Тут в динамике надо для наглядности рисовать.

А в той мазне, что вы предоставили, разве что-то шевелится?

dust1939 · Сообщение **dust1939** » 20 фев 2016, 12:52

Ну Dreed выдал!
Не попадет для любого наблюдателя

yourdomain.com