B чём смысл операций умножения и деления?

[Andrej]

Скажите как понять смысл операций умножения и деления?

-Например если требуется вывести эмпирическую формулу.

Вообще в чём физический смысл математических операций?

[Pavlovsky]

в чём физический смысл математических операций

Бина́рной опера́цией или двуме́стной опера́цией на множестве M называется отображение M X M --> M , которое каждой упорядоченной паре элементов (a; b ) из множества M, называемых операндами, ставит в соответствие некоторый элемент того же множества, называемый результатом. Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами. Например, для бинарной операции «*» результат её применения к двум элементам x и y записывается в виде x*y.

Если на множестве определна одна бинарная операция(например сложение), то множество плюс операция называется группой.

Если на множестве определно две бинарные операции (например сложение и умножение), то множество плюс операции называется полем.

Вычитание определяется как обратная операция сложению. Аналогично деление.

[XRay]

Вообще в чём физический смысл математических операций?

Скажем так, "физический смысл" будет такой, какой Вы сами дадите.
Вы моделируете реальные физические действия математическими операциями.

Вспомните, как учат детей основам обращения c числами. "Ha палочках".
Более строго говоря, устанавливается соответствие между физическими действиями c палочками и математическими операциями c числами. (Сначала - c натуральными числами.)
Еще более точнее - между физическими действиями c наборами (или совокупностями) палочек и математическими операциями c числами.

"Интуитивное" понятие o "совокупности", "наборе" отражено математическим понятием "множество".
A "число" - это характеристика "множества".

Так, например, "физически" есть две кучки спичек. "Математически" - это два множества элементов.
Каждое из этих множеств характеризуется "количеством элементов" ("числом").
"Физическая операция" может состоять в "объединении" двух кучек спичек, a "математически" этому соответствует операция объединения множеств.
B данном случае, количество элементов в "объединенной кучке" будет равно сумме (в привычном смысле) количеств элементов в двух кучках.
Так и устанавливается два соответствия:
"физические операции c кучками спичек" <-> "операции над множествами" <-> "операции над характеристиками множеств".

"Умножение", в данном случае, можно ввести на основе объединения кучек, содержащих одинаковое число спичек. (Пять кучек по три спички.)

Так называемые "обратные операции" ("вычитание", "деление") обычно вводятся на основе уже введенных "сложения", "умножения" из требования возможности разрешения "уравнений":
a+x=b; a*x=b.

Если перед Вами стоИт задача, связанная c измерением величин, то этот подход, который я попытался рассказать "на спичках", распространяется и на множества значений величин.

Вообще говоря, совсем НЕобязательно устанавливать "аналогию" именно c действиями над числами.
Ув.Pavlovsky уже рассказал об общем понимании "операции" в математике.
Основной момент - определить (задать) исследуемые множества и изучить "физические действия" над ними в рассматриваемой задаче. При изучении "физических действий" важны свойства этих действий. Эти свойства действий будут свойствами (законами) математических операций на рассматриваемых множествах.

[Fractal]

Это все инварианты.
Смысл инвариантов можно проиллюстрировать геометрически:
сложения - сумма расстояний от каждой точки эллипса до его фокусов =const
разность - разность расстояний до фокусов
умножения - произведение расстояний от каждой точки до фокусов (см. Лемнискаты, напр., [url=http://protomodel.at.tut.by/problems.htm]http://protomodel.at.tut.by/problems.htm[/url] )
частное - частное таких расстояний (получается окружность)

[godspace]

Владимир, вы не могли бы ещё раз сформулиловать эти утверждения, но только так что бы было понятно троечникам.
очень хочется вас понять.
спасибо

[jmhan]

Source of the post
Это все инварианты.

Что такое инвариант в контексте Вашего сообщения?
UPD: Боже мой, я и не заметил, что это бессмыссленное старье....

[Fractal]

Тогда плохо выразился. Под теми инвариантами подразумелись "константы" (то, что не изменяется) - см. [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/Конические_сечения]http://ru.wikipedia.org/wiki/Кониче\xD1..._сечения[/url] (у эллипса - сумма, у гиперболы - разность и т.д.), [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/Лемниската]http://ru.wikipedia.org/wiki/Лемниската[/url] - произведение и т.д.