Стакан вверх дном

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 29 ноя 2015, 13:40

Меня попросили в личке решить одну задачу, но публикую решение здесь, т.к. в личке нет предварительного просмотра,
не цепляются картинки (непосредственно в сообщение, без хостинга).
Кроме того, вдруг лажану, кто-то может и ткнет носом.
Задача.
Имеется тонкостенный цилиндрический стакан массой М, высотой H и площадью сечения S.
Переворачиваем вверх дном и погружаем в воду. Найти высоту h не погруженной в воду части стакана
при условии, что он будет плавать.
Решение.
Единственной силой, направленной вверх, будет сила избыточного (над атмосферным $$P_a$$

) давления $$P_i$$

,
действующая на дно стакана. Имеем $\displaystyle P_iS=Mg\,=>\,P_i=\frac{Mg}{S}$ (1)
С другой стороны $P_i=\rho gh_1$ (2)
Из (1) и (2) находим $\displaystyle h_1=\frac{M}{\rho S}$ (3)
По закону Бойля-Мариотта: $$P_aSH=(P_a+P_i)(H-h_2)S$$

, откуда $\displaystyle h_2=\frac{P_i H}{P_a+P_i}$ , или, с учетом (1):
$\displaystyle h_2=\frac{MgH}{P_aS+Mg}$
Окончательно:
$\displaystyle h=H-h_1-h_2=H-\frac{M}{\rho S}-\frac{MgH}{P_aS+Mg}$
Если при конкретных данных выражение положительно, то стакан плавает, иначе тонет.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 29 ноя 2015, 13:42

Черт, картинку забыл.

Таланов

Масса стакана такова, что опущенный в воду дном вниз он погружается в неё аккурат по своей верхней кромке.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 29 ноя 2015, 14:20

Таланов писал(а):Source of the post Масса стакана такова, что опущенный в воду дном вниз он погружается в неё аккурат по своей верхней кромке

В этом случае масса стакана равна массе вытесненной воды и имеет место $M=\rho SH$
Подставляя это сюда (во второй член):
$\displaystyle h=H-h_1-h_2=H-\frac{M}{\rho S}-\frac{MgH}{P_aS+Mg}$
получим, что первые два члена исчезнут и будет определенно отрицательное выражение
$\displaystyle h=-\frac{MgH}{P_aS+Mg}$
т.е. стакан утонет.

Chelo27 · Сообщение **Chelo27** » 29 ноя 2015, 18:52

grigoriy писал(а):Source of the post получим, что первые два члена исчезнут и будет определенно отрицательное выражение

Чисто логически. Может быть вариант - выражение = 0
Случай когда +0 и -0 имеют смысл.
Если при этом меникс выпуклый, то стакан не утонет.
Если при этом меникс вогнутый, то стакан утонет.

Anik · Сообщение **Anik** » 05 дек 2015, 09:16

Если стакан, опущенный в воду дном вниз, выпирает из воды на высоту h, то не факт, что будучи повёрнутым дном вверх он не потонет.

Таланов

В первом случае в стакан накладывается груз с таким весом, чтобы край стакана совпал с уровнем воды. Во втором случае на перевернутое дно стакана ложится этот груз и есть три варианта:
а). Дно стакана совпало с уровнем воды;
б). Стакан выпирает из-под воды;
в). Стакан утонет.
Говорят что это старолетняя олимпиадная задача по физике для младших классов.

Таланов

Anik писал(а):Source of the post Если стакан, опущенный в воду дном вниз, выпирает из воды на высоту h, то не факт, что будучи повёрнутым дном вверх он не потонет.

Формулы нужны доказывающие или опровергающие ваше утверждение.

Anik · Сообщение **Anik** » 05 дек 2015, 10:54

Можно и без формул.
Когда стакан плавает вниз дном его объем занят воздухом при атмосферном давлении. Когда стакан перевёрнут, то водух сжимается весом стакана. Если воздух сожмётся на высоту большую чем h, то стакан потонет, потому как объем воздуха станет меньше первоначального. То место, но которое сжался воздух, займёт вода.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 05 дек 2015, 12:45

Здесь всё зависит от соотношения масс стакана и груза, а также от плотности материала груза..
Если масса стакана невелика в сравнении с массой груза, то может случиться так,
что перевернутый стакан без груза будет плавать, а если положить на него груз,
то система неизбежно начнет тонуть (из-за уменьшения массы вытесненной воды),
но до конца ли? - т.к. груз начнет погружаться в воду и появится дополнительная выталкивающая сила.
Нужно провести расчеты, аналогичные, но чуть сложнее, чем в стартовом посте. Лень, правда...

yourdomain.com