Страница 1 из 3

Интегрирование по частям

Добавлено: 28 мар 2013, 21:25
Alexander4321
Добрый день! Необходимо вычислить определенный интреграл

$$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}$$

Интегрирую по частям. Но чем дальше интегрирую, тем меньше не становится. Извиняюсь что не пишу расчет в тексте, прикрепил файл Word (в нем уже записаны все произведенные расчеты, столько в тексте не выдержу писать). Можете посмотреть, может я не тот метод выбрал для интегрирования? Спасибо!

Изображение

Интегрирование по частям

Добавлено: 29 мар 2013, 03:02
bot
$$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}=-3\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)de^{-\frac{x}{3}}\ldots$$
Дальше сами.

Интегрирование по частям

Добавлено: 29 мар 2013, 08:26
Alexander4321
bot писал(а):Source of the post
$$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}=-3\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)de^{-\frac{x}{3}}\ldots$$


Можете пояснить, как $$x$$ в $$-3$$ преобразовался? Спасибо!

Интегрирование по частям

Добавлено: 29 мар 2013, 10:34
laplas
вы правило интегрирования по частям знаете?
если нет, то знаете ли вы правило дифференцирования произведения двух функций?
если и это не знаете, тогда вас отправят учебник читать!

Интегрирование по частям

Добавлено: 29 мар 2013, 11:32
Alexander4321
laplas писал(а):Source of the post
если и это не знаете, тогда вас отправят учебник читать!


Не надо, я сам. Вечером почитаю по учебнику, попробую разобраться.

Интегрирование по частям

Добавлено: 30 мар 2013, 20:58
Alexander4321
При интегрировании по частям что-то вроде этого получается

$$u=3x-1;du=(3x-1)'dx=3dx$$

$$dV=e^{-\frac{x}{3}}dx};V=\int{e^{-\frac{x}{3}}dx}}=-\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}+C}$$

$$udV=uV-\int{Vdu}$$

$$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}=(3x-1)(-\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}dx})|_{\frac{1}{3}}^{3}-\int_{\frac{1}{3}}^{3}{-\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}3dx}...$$

А как получилось
bot писал(а):Source of the post
$$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}=-3\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)de^{-\frac{x}{3}}\ldots$$

понятия не имею.

Интегрирование по частям

Добавлено: 30 мар 2013, 21:25
Dragon27

Последнее неверно.

Alexander4321 писал(а):Source of the post
А как получилось
bot писал(а):Source of the post
$$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}=-3\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)de^{-\frac{x}{3}}\ldots$$

понятия не имею.

Вы знаете, что такое "дифференциал"? Вы ж сами выше писали.
$$du = u'dx$$, где $$u'$$ - производная $$u$$ по $$x$$. Отсюда можно заметить, что $$u' = \frac{du}{dx}$$

$$d\left(e^{-\frac{x}{3}}\right)$$ - это дифференциал от $$e^{-\frac{x}{3}}$$
$$d\left(e^{-\frac{x}{3}}\right) = (e^{-\frac{x}{3}})'dx$$

Интегрирование по частям

Добавлено: 30 мар 2013, 21:25
vetrjanka
$$\int e^{-\frac{x}{3}}dx=-3e^{-\frac{x}{3}}+C$$
Учите свойства интегралов.

Интегрирование по частям

Добавлено: 31 мар 2013, 06:01
Alexander4321
vetrjanka писал(а):Source of the post
$$\int e^{-\frac{x}{3}}dx=-3e^{-\frac{x}{3}}+C$$
Учите свойства интегралов.

Точно, тут же получается
$$(-3e^{-\frac{x}{3}})'=e^{-\frac{x}{3}}$$

Спасибо!

Интегрирование по частям

Добавлено: 31 мар 2013, 17:19
Alexander4321
Dragon27 писал(а):Source of the post
$$du = u'dx$$, где $$u'$$ - производная $$u$$ по $$x$$. Отсюда можно заметить, что $$u' = \frac{du}{dx}$$

$$d\left(e^{-\frac{x}{3}}\right)$$ - это дифференциал от $$e^{-\frac{x}{3}}$$
$$d\left(e^{-\frac{x}{3}}\right) = (e^{-\frac{x}{3}})'dx$$


Дошло наконец, как чисто технически были выполнены преобразования.

$$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}=\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)(e^{-\frac{x}{3}})'dx}=\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)d(-3e^{-\frac{x}{3}})=-3\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)de^{-\frac{x}{3}}$$
Но вот почему мы под знаком интеграла трогали только $$e^{-\frac{x}{3}}$$ и проигнорировали $$(3x-1)$$ все равно не понятно. Можете скинуть какую-нибудь ссылку на ресурс или назвать конкретную тему из учебника (что-нибудь конкретное, а не весь раздел), что можно почитать, чтобы разобраться? Пока это не пойму, даже не хочется дальше разбираться с заданием. Спасибо!