Интегрирование по частям

Alexander4321

Добрый день! Необходимо вычислить определенный интреграл

$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}$

Интегрирую по частям. Но чем дальше интегрирую, тем меньше не становится. Извиняюсь что не пишу расчет в тексте, прикрепил файл Word (в нем уже записаны все произведенные расчеты, столько в тексте не выдержу писать). Можете посмотреть, может я не тот метод выбрал для интегрирования? Спасибо!

bot · Сообщение **bot** » 29 мар 2013, 03:02

$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}=-3\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)de^{-\frac{x}{3}}\ldots$
Дальше сами.

Alexander4321

bot писал(а):Source of the post
$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}=-3\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)de^{-\frac{x}{3}}\ldots$

Можете пояснить, как $$x$$

в

преобразовался? Спасибо!

laplas · Сообщение **laplas** » 29 мар 2013, 10:34

вы правило интегрирования по частям знаете?
если нет, то знаете ли вы правило дифференцирования произведения двух функций?
если и это не знаете, тогда вас отправят учебник читать!

Alexander4321

laplas писал(а):Source of the post
если и это не знаете, тогда вас отправят учебник читать!

Не надо, я сам. Вечером почитаю по учебнику, попробую разобраться.

Alexander4321

При интегрировании по частям что-то вроде этого получается

$$u=3x-1;du=(3x-1)'dx=3dx$$

$dV=e^{-\frac{x}{3}}dx};V=\int{e^{-\frac{x}{3}}dx}}=-\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}+C}$

$udV=uV-\int{Vdu}$

$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}=(3x-1)(-\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}dx})|_{\frac{1}{3}}^{3}-\int_{\frac{1}{3}}^{3}{-\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}3dx}...$

А как получилось

bot писал(а):Source of the post
$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}=-3\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)de^{-\frac{x}{3}}\ldots$

понятия не имею.

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 30 мар 2013, 21:25

Alexander4321 писал(а):Source of the post
$dV=e^{-\frac{x}{3}}dx};V=\int{e^{-\frac{x}{3}}dx}}=-\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}+C}$

Последнее неверно.

Alexander4321 писал(а):Source of the post
А как получилось
bot писал(а):Source of the post
$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}=-3\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)de^{-\frac{x}{3}}\ldots$

понятия не имею.

Вы знаете, что такое "дифференциал"? Вы ж сами выше писали.
$$du = u'dx$$

, где

- производная $$u$$

по

. Отсюда можно заметить, что $u' = \frac{du}{dx}$

$d\left(e^{-\frac{x}{3}}\right)$ - это дифференциал от $e^{-\frac{x}{3}}$
$d\left(e^{-\frac{x}{3}}\right) = (e^{-\frac{x}{3}})'dx$

vetrjanka · Сообщение **vetrjanka** » 30 мар 2013, 21:25

$\int e^{-\frac{x}{3}}dx=-3e^{-\frac{x}{3}}+C$
Учите свойства интегралов.

Alexander4321

vetrjanka писал(а):Source of the post
$\int e^{-\frac{x}{3}}dx=-3e^{-\frac{x}{3}}+C$
Учите свойства интегралов.

Точно, тут же получается
$(-3e^{-\frac{x}{3}})'=e^{-\frac{x}{3}}$

Спасибо!

Alexander4321

Dragon27 писал(а):Source of the post
, где - производная по . Отсюда можно заметить, что $u' = \frac{du}{dx}$

$d\left(e^{-\frac{x}{3}}\right)$ - это дифференциал от $e^{-\frac{x}{3}}$
$d\left(e^{-\frac{x}{3}}\right) = (e^{-\frac{x}{3}})'dx$

Дошло наконец, как чисто технически были выполнены преобразования.

$\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx}=\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)(e^{-\frac{x}{3}})'dx}=\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)d(-3e^{-\frac{x}{3}})=-3\int_{\frac{1}{3}}^{3}{(3x-1)de^{-\frac{x}{3}}$
Но вот почему мы под знаком интеграла трогали только $e^{-\frac{x}{3}}$ и проигнорировали $$(3x-1)$$

все равно не понятно. Можете скинуть какую-нибудь ссылку на ресурс или назвать конкретную тему из учебника (что-нибудь конкретное, а не весь раздел), что можно почитать, чтобы разобраться? Пока это не пойму, даже не хочется дальше разбираться с заданием. Спасибо!

yourdomain.com