Как одним числом определить точку в пространстве.

[spx-vnx]

Здравствуйте.
Как-то один препод объяснял почему пространство является трёхмерным. Ответ, что, якобы, положение материальной точки задаётся набором из трёх чисел является неверным, т.к. это можно сделать любым количеством вещественных чисел. Он говорил, что положение материальной точки в ограниченном пространстве можно задать и одним вещественным числом.
Я думал как это сделать, а вот сегодня, когда ехал в трамвае на работу, кажется дошло. Собственно, вопррос: как определить положение материальной точки в ограниченном пространстве с любой точностью одним вещественным числом?

Такая идея. Делим пространство на 8 равновеликих куба и нумеруем их от 0 до 7. Далее, тот кубик, в который попала точка снова делим на 8 равновеликих и т.д. Получаем последовательность цифр, которая определяет положение материальной точки, этой последовательности будет соответствовать вещественное число 0.(последовательность цифр).

Собственно, правильно ли я думаю?

[Таланов]

Source of the post
Такая идея. Делим пространство на 8 равновеликих куба и нумеруем их от 0 до 7. Собственно, правильно ли я думаю?

Правильно, только ещё следует задать координаты куба и его размеры.

[spx-vnx]

Source of the post Правильно, только ещё следует задать координаты куба и его размеры.

Нет, ну.. если интересуют координаты в пределах лаборатории.

[peregoudov]

Все проще можно организовать: четные цифры десятичной записи числа дают одну координату, нечетные --- вторую. Элементарно обобщается на любое конечное число измерений.

[spx-vnx]

peregoudov, да, Вы правы.

[folk]

Есть еще вариант как продолжение вашей идеи:
- построить дерево кубиков (8 штук по квадрантам) и на каждом шаге детализации (разбиения
каждого такого кубика на 8 штук) указывать номер квадранта (кубика в этом слое дерева)
(этот способ используется и на практике для хранения геометрических объектов)

C другой идеей ( только он с зараннее определенной точностью )
- прогнать через пространство ломаную Гильберта и тогда вы получаете просто нумерацию всех кубиков
алгоритм пересчета быстрый, класс алгоритмов использующих эту кодировку обладает
замечательным свойством - если вы обрабатываете данные двигаясь по кривой Гильберта,
то вы почти оптимально используете кэш любого размера - иными словами ваш алгоритм не нужно
адаптировать при переходе от процессора с большим кэшем на процессор с меньшим.

Впрочем оба варианта можно и совместить.

[Рубен]

Source of the post
Все проще можно организовать: четные цифры десятичной записи числа дают одну координату, нечетные --- вторую. Элементарно обобщается на любое конечное число измерений.

Четные/нечетные, а как обобщить на число измерений больше двух?

Похоже, тут дело просто в договоренности. Точка и так в задается набором чисел, только разделенных запятыми (в их две ). Если "договориться", то запятые можно откинуть. Если отвести на каждую координату, допустим, по 3 цифры и условиться, что первые 3 цифры ("миллионы") -- это число координаты , вторые 3 цифры ("тысячи") -- это число координаты , а последние отведены для , то можно довольно точно задавать положение точки.

Конечно, положение будет дискретным, но при любых реальных измерениях и заданиях оно и так всегда дискретно.

Только зачем это нужно...(вопрос учителю)

Source of the post
указывать номер квадранта (кубика в этом слое дерева)

октанта

[Dragon27]

Source of the post Четные/нечетные, а как обобщить на число измерений больше двух?

Да точно также. Номера 0, 1 и 2 по модулю 3

[Рубен]

Source of the post
Да точно также. Номера 0, 1 и 2 по модулю 3

Не понял...
вот число. Четные - первая координата, нечетные -- вторая координата, а третья координата? Или я не верно понимаю слово "обобщить".

[Dragon27]

Source of the post вот число. Четные - первая координата, нечетные -- вторая координата, а третья координата? Или я не верно понимаю слово "обобщить".

Чётные - это 0 по модулю 2, нечётные - 1 по модулю 2.