yourdomain.com

Добрый день всем участникам.

Решала один из примеров и получила в качестве одного из промежуточных результатов такой интеграл:
$\int{\frac{sin^3x} {sin^2x + C} dx}$
Не могу придумать, как упростить подынтегральное выражение и взять интеграл, если С не равно 0. Буду благодарна за любую помощь. Спасибо.

новая переменная $\cos x$ , то есть $-\sin x$ "внести под лифференциал"

Ian,спасибо за подсказку. Мне стыдно признаться, но у меня все равно непонятно что получается:

$\int{\frac {sin^3x} {sin^2x+C} dx} = \int{\frac {sinx sin^2x} {sin^2x+C} dx} = - \int{\frac {1 - cos^2x} {1 - cos^2x+C} d(cosx)}$

Что дальше со всем этим делать? :blink: Спасибо.

Belka-svistelka писал(а):Source of the post
Ian,спасибо за подсказку. Мне стыдно признаться, но у меня все равно непонятно что получается:

$\int{\frac {sin^3x} {sin^2x+C} dx} = \int{\frac {sinx sin^2x} {sin^2x+C} dx} = - \int{\frac {1 - cos^2x} {1 - cos^2x+C} d(cosx)}$

Что дальше со всем этим делать? :blink: Спасибо.

прибавьте и вычтите С в числителе. затем каждое слагаемое поделить на знаменатель. получится 2 табличных интеграла. (1+С - константа)

Belka-svistelka писал(а):Source of the post
Ian,спасибо за подсказку. Мне стыдно признаться, но у меня все равно непонятно что получается:

$\int{\frac {sin^3x} {sin^2x+C} dx} = \int{\frac {sinx sin^2x} {sin^2x+C} dx} = - \int{\frac {1 - cos^2x} {1 - cos^2x+C} d(cosx)}$

Что дальше со всем этим делать? :blink: Спасибо.

$t=\cos x$

$\displaystyle - \int{\frac {1 - cos^2x} {1 - cos^2x+C} d(cosx)}=- \int{\frac {1 - t^2} {1 -t^2+C} dt}=$
$\displaystyle =\int{\frac { t^2-1-C+C} {t^2-1-C} dt}=\int (1+\frac {C} {t^2-(C+1)}) dt}=...$

Спасибо всем, кто откликнулся.

В итоге у меня получилась такая штука:

$- \int{\frac {1 - t^2 + C - C} {1 - t^2 + C} dt} = - \int{(1 - \frac {C} {1 - t^2 + C}) dt}$

$$1+C = C_2 $$

$-t + C\frac {1}{2\sqrt{C_2}}ln\frac{|\sqrt{C_2}+t|}{|\sqrt{C_2}-t|} +C_3$

Правильно?

Belka-svistelka писал(а):Source of the post
Спасибо всем, кто откликнулся.

В итоге у меня получилась такая штука:

$- \int{\frac {1 - t^2 + C - C} {1 - t^2 + C} dt} = - \int{(1 - \frac {C} {1 - t^2 + C}) dt}$

$-t + C\frac {1}{2\sqrt{C_2}}ln\frac{|\sqrt{C_2}+t|}{|\sqrt{C_2}-t|} +C_3$

Правильно?

с2 и t разуплотнить обратно. (обратную замену)
похоже на правду.

вот только знаки что то несовпадают у вас и ответом выше. а ну да. СергейП случайно внес один знак минус и в числитель и в знаменатель.

Hellko, спасибо. О замене помню

там иногда арктангенс

mihailm, расскажите подробнее, пожалуйста, в каких случаях

yourdomain.com

Помогите взять интеграл

Помогите взять интеграл

Помогите взять интеграл

Помогите взять интеграл

Помогите взять интеграл

Помогите взять интеграл

Помогите взять интеграл

Помогите взять интеграл

Помогите взять интеграл

Помогите взять интеграл

Помогите взять интеграл