тервер

fore · Сообщение **fore** » 28 сен 2011, 17:41

Все-таки почему $\frac{\hat{\sigma ^2}(n-1)}{\sigma^2} \sim \chi ^2_{n-1}$ ?
С одной стороны, $\hat{\sigma^2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$
И тогда получается, что $\frac{\hat{\sigma ^2}(n-1)}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^n (\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma})^2 = \sum_{i=1}^n Z_i^2$
$Z_i \sim \mathcal{N} (0,1)$
Однако не все $$Z_i$$

независимы, а независим будет набор из не более чем $$n-1$$

таких случайных величин, и это, как я понимаю, и есть причина того, что в $\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2_{n-1}$ именно $$n-1$$

степень свободы. Но логику все равно не до конца улавливаю. Возьмем, мы скажем, в этой сумме и выделим $$n-1$$

слагаемых $Z_1^2 + ... + Z_{n-1}^2$ , и получившееся выражение и будет распределено так (т.к. все сл.в. независимы), согласен, но кто сказал что распределение сохранится, если мы добавим в сумму $$Z_n^2$$

?

Ian · Сообщение **Ian** » 29 сен 2011, 06:21

fore писал(а):Source of the post Однако не все независимы, а независим будет набор из не более чем таких случайных величин, и это, как я понимаю, и есть причина,,,

Это

и

независимы. А $\bar X$ - это просто сокращенное обознвчение для $\frac{X_1+...+X_n}n$ , поэтому, $X_1-\bar X$ и $X_2-\bar X$ -зависимые отрицательно коррелированные. И так любая пара.
(Доказательство.В предположении $MX_1=MX_2=...=MX_n=a,M(X_iX_j)=a^2,i\ne j,M(X_i^2)=d>a^2$ найдем
$\displaystyle \\M((X_1-\bar X)(X_2-\bar X))=...=-\frac{d-a^2}n<0$
,а не 0.)
И так для любой пары. Особенно ясно это видно при n=2: $\frac{X_1-X_2}2$ и $\frac{X_2-X_1}2$ очевидно зависимы.

myn · Сообщение **myn** » 03 окт 2011, 10:32

Проще говоря - одну степень свободы "забирает" на себя средняя арифметическая, которая сама рассчитывается через эти независимые наблюдения...
Число параметров распределения, которые оцениваются по выборке, всегда уменьшают число степеней свободы на их количество.

fore писал(а):Source of the post
И тогда получается, что $\sum_{i=1}^n (\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma})^2 = \sum_{i=1}^n Z_i^2$
$Z_i \sim \mathcal{N} (0,1)$

вот это неверно.

Вот так верно:
$\sum_{i=1}^n (\frac{X_i-a}{\sigma})^2 = \sum_{i=1}^n Z_i^2$
$Z_i \sim \mathcal{N} (0,1)$

а $\overline{X}$ - это лишь выборочная оценка математического ожидания генеральной совокупности $$a$$

По каждой выборке будет получена своя средняя арифметическая, и если вы её отнимите у ваших случайных величин, они не будут центрированными и потом нормированными.

fore · Сообщение **fore** » 03 окт 2011, 17:22

Я понял свои ошибки спасибо.

Но вопрос остался все равно(
myn, могли бы Вы подробнее? А то объяснение "на пальцах" не понимаю интуитивно - а точнее, фразу "забирает степень свободы".

myn · Сообщение **myn** » 04 окт 2011, 16:13

ну - почитайте ещё лекции Черновой Н.И. (НГУ), у неё все строго обосновано:

[url=http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/le...l#SECTION000650]http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/le...l#SECTION000650[/url]

myn · Сообщение **myn** » 04 окт 2011, 16:31

и вот ещё темка интересная была...

[url=http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=18047&st=0]http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=18047&st=0[/url]

yourdomain.com

тервер

тервер

тервер

тервер

тервер

тервер

тервер

Кто сейчас на форуме