опять неявная функция

fore · Сообщение **fore** » 05 июн 2011, 09:30

пусть функция y=f(x) задана неявно уравнением $$x^3+y^3 + 24-3x^2y=0$$

1) найти первый дифференциал в точке M(2,1)
2) найти стационарные точки этой функции

чтобы найти первый дифференциал, найдем производную:
$$3x^2+3y^2y'-6xy-3x^2y'=0$$

$y' = \frac{6xy-3x^2}{3y^2-3x^2}$
в точке M производная равна нулю, значит первый дифференциал $$dy=y'dx =0$$

стационарные точки?
вот проблема. не знаю, как найти их, явное выражение функции-то неизвестно

по идее приравниваем к нулю производную
отсюда получается $y=\frac{1}{2} x$ либо $$x=0$$

(из уравнения сверху можно найти что соответствующий $y=- \sqrt[3]{24}$ )
еще видно что точка M(1,2) подходит(т.е. она стационарная)

помогите со стационарными точками, не понимаю как 2 пункт делать

Ian · Сообщение **Ian** » 05 июн 2011, 13:07

fore писал(а):Source of the post
пусть функция y=f(x) задана неявно уравнением
...
отсюда получается $y=\frac{1}{2} x$ либо (из уравнения сверху можно найти что соответствующий $y=- \sqrt[3]{24}$ )
еще видно что точка M(1,2) подходит(т.е. она стационарная)

не подходит, первому уравнению не удовлетворяет

помогите со стационарными точками, не понимаю как 2 пункт делать

Подставлять $y=\frac{1}{2} x$ либо $$x=0$$

в исходное уравнение.Выйдет (4;2) в первом случае и $x=0,y=- \sqrt[3]{24}$ во втором.
В более сложных случаях решают систему
F(x,y)=0
y'=0
мобилизуя всю фантазию...

yourdomain.com