неявная функция

fore · Сообщение **fore** » 30 май 2011, 06:34

Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $$z=f(x,y)$$

, заданной неявно уравнением $x^2+xyz+y^3+e^{2x-y-z}-4=0$ в точке M(1,1,1)
как решить?
уравнение касательной плоскости
$$(z-z_0) = z'_x(x-x_0)+z'_y(y-y_0)$$

ищу производную по $$y$$

например, получаю:

$z'_y = \frac{xz+3y^2-e^{2x-y-z}}{e^{2x-y-z}-xy}$
что в точке M не определено

как быть?

mihailm · Сообщение **mihailm** » 30 май 2011, 07:24

без приведенных вычислений и не скажешь

Ian · Сообщение **Ian** » 30 май 2011, 07:36

fore писал(а):Source of the post ищу производную по например, получаю:
$z'_y = \frac{xz+3y^2-e^{2x-y-z}}{e^{2x-y-z}-xy}$
что в точке M не определено
как быть?

Действительно,касательная плоскость вертикальна и имеет уравнение $$3dx+2dy=0$$

где остается подставить х-1 вместо dx и y-1 вместо dy и вот ответ.
Как нашел? Полный дифференциал данного неявного уравнения взял и координаты точки подставил

venja · Сообщение **venja** » 30 май 2011, 11:53

fore писал(а):Source of the post
Найти уравнение касательной плоскости к поверхности , заданной неявно уравнением $x^2+xyz+y^3+e^{2x-y-z}-4=0$ в точке M(1,1,1)
как решить?
уравнение касательной плоскости

ищу производную по например, получаю:

$z'_y = \frac{xz+3y^2-e^{2x-y-z}}{e^{2x-y-z}-xy}$
что в точке M не определено

как быть?

А зачем рассматривать уравнение поверхности как неявное задание функции?
Для данного случая есть другая формула для касательной плоскости:

Если уравнение поверхности задано в виде $$F(x,y,z)=0$$

, то уравнение касат. плоскости
$F'_x(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)\cdot(y-y_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)\cdot(z-z_0)=0$ .

Думаю, так проще.

yourdomain.com