C электроном отдачи всё должно получаться из тех же законов сохранения энергии и импульса. Более того, если вы в них электрона отдачи не учитывали, у вас ответ для фотона должен был неправильный получиться.
Пластина имеет колебания вида
. Здесь
- волновые числа в соответствующих направлениях. Они связаны c частотой дисперсионным соотношением
, которое можно получить, например, из характеристического уравнения. (Видимо, у вас будет
вместо
.) Волновые числа принимают дискретные значения из условия, что на края мембраны приходятся узлы стоячих волн, так что на плоскости
(
в простанстве импульсов) собственные колебания отображаются точками дискретной сетки. Условие, что частота лежит в интервале частот, высекает на этой плоскости круглое кольцо (точнее, в положительном квадранте - четверть кольца), и надо посчитать точки - собственные колебания - которые попадают в это кольцо. Дальше используем приближение (которое не было оговорено, но на самом деле подразумевается в такой физической ситуации), что и
, и
велики по сравнению c шагом сетки, так что можно просто взять площадь кольца, и помножить на плотность точек сетки. Тогда получается простая формула.
Теперь ждём поправок и уточнений от
peregoudov.