дифференциальное уравнение

Dashulka · Сообщение **Dashulka** » 16 май 2010, 15:48

Помогите пожалуйста c Д.У.Вообще не знаю c какой стороны к нему подойти
(2*x^2-y^2)*y’=2*x*y
заренее спасибо!

da67 · Сообщение **da67** » 16 май 2010, 16:05

Однородное уравнение. Стандартный способ: замена $$y=ux$$

.

Dashulka · Сообщение **Dashulka** » 16 май 2010, 18:10

Спасибо большое за подсказку.не могли бы вы еще посмотреть похоже ли это решение на правду?

$$(2x^2-y^2)y'=2xy$$

$y'=\frac {2xy} {2x^2-y^2}$

$\frac {1} {y'}=\frac {2x^2-y^2} {2xy}=>\frac {1} {y'}=\frac {x} {y}-\frac {y} {2x}$

$y=ux; u=\frac {y} {x}; \frac {1} {u}=\frac {x} {y}$

$\frac {1} {y'}=u'x+u$

$u'x+u=\frac {1} {u}-\frac {u} {2}$

$u'x=\frac {1} {u}-\frac {3u} {2}$

$\frac {du} {dx}x=\frac {2-3u^2} {2u}$

$dux=\frac {2-3u^2} {2u}dx$

$\frac {2u} {2-3u^2}du=\frac {dx} {x}$

$\int_{}^{}{(\frac {2u} {2-3u^2})du}=\int_{}^{}{(\frac {1} {x})dx}+lnC$

$-\frac {1} {3}\int_{}^{}{(\frac {d(2-3u^2)} {2-3u^2})}=ln|x|+lnC$

$-\frac {1} {3}ln|2-3u^2|=ln|x|+lnC$

И что делать дальше?

da67 · Сообщение **da67** » 16 май 2010, 18:28

Что-то перемудрили.
$\frac {1} {y'}=u'x+u$ - здесь и далее неверно.

Делайте замену сразу в исходном уравнении:
$$y=ux$$

,

.

Dashulka · Сообщение **Dashulka** » 16 май 2010, 18:41

He понимаю
берем
$y'=\frac {2xy} {2x^2-y^2}$
A чему тогда u будет равно

fore · Сообщение **fore** » 16 май 2010, 18:47

$y' = \frac {2y/x} {2 - (y/x)^2}$

To есть делим числитель и знаменатель дроби на $$x^2$$

da67 · Сообщение **da67** » 16 май 2010, 18:53

Dashulka писал(а):Source of the post берем $y'=\frac {2xy} {2x^2-y^2}$

и подставляем туда $$y=ux$$

,

.

Dashulka · Сообщение **Dashulka** » 20 май 2010, 13:21

подставляем $$y=ux;y'=u'x+u$$

$u'x+u=\frac {2x^2u} {2x^2-u^2x^2}$

$u'x=\frac {u^3} {2-u^2}$

$xdu=\frac {u^3} {2-u^2}dx$ - c разделяющими перем

$\frac {2-u^2} {u^3}du=\frac {dx} {x}$ - c разделенными перем.

$\int_{}^{}{\frac {2-u^2} {u^3}du}=\int_{}^{}{\frac {dx} {x}}$

$\int_{}^{}{\frac {2} {u^3}du}-\int_{}^{}{\frac {u^2} {u^3}du}=\int_{}^{}{\frac {dx} {x}}$

$$-u^2-lnu=lnx+lnC$$

$0=\frac {y^2} {x^2}+ln|\frac {y} {x}|+lnx+lnC$

$0=\frac {y^2} {x^2}+lny+lnC$
A так?и что дальше должно быть?

k1ng1232 · Сообщение **k1ng1232** » 20 май 2010, 13:30

у вас eсть помарка в 6 строке ,откуда там взялся ln|C| он появится только после интегрирования

Dashulka · Сообщение **Dashulka** » 20 май 2010, 15:16

A.Ну да.Точно.Спасибо за проверку.A что дальше нужно делать?

yourdomain.com