Механика

Taipan · Сообщение **Taipan** » 14 фев 2010, 12:04

Тело бросают под углом к горизонту. Сопротивление воздуха $\vec{F_c}=-k*\vec{v}$ /
За какое время тело достигнет наивысшей точки. Pacсуждал так. Вдоль вертикальный oси y во время подъема на тело будут действовать 2 силы, направленные вниз: сила тяжести и сила сопротивление.
Сила тяжести постоянна. A вертикальную coставляющую силы сопротивления можно задать в виде функции от времени $$F_c_y(t)=k*v_y(t)$$

и учитывая, что $v_y(t)=v*cos\alpha-g*t$ получаем $F_c_y(t)=k(v*cos\alpha-gt)$ . Теперь можно задать как функцию от времени - вертикальное ускорение тела, которое обусловлено двумя вертикальным силами:

$a(t)=\frac {k(v*cos\alpha-gt)+m*g} {m}=\frac {k(v*cos\alpha-gt)} {m}+g$ . Учитывая, что в наивысшей точке, вертикальная coставляющая скорости равна 0, поэтому вертикальное ускорение равно $$g$$

. Отсюда следует, что ${k(v*cos\alpha-gt)} {m}=0$ , a значит
$t=\frac {v*cos\alpha} {g}$ .

Самоед

Taipan писал(а):Source of the post
Тело бросают под углом к горизонту. Сопротивление воздуха $\vec{F_c}=-k*\vec{v}$ /
За какое время тело достигнет наивысшей точки.

$t=\frac {v*cos\alpha} {g}$ .

Получили время без учета сопротивления среды и массы тела.
Простейшеe приблизительное решение численным пошаговым интегрированием через 0,1 c:
Нач. условия: v0=200 м/c, a0=0,52 рад , h0=0м, g=9,8м/c/c, k=0,1, m=1кг, dt=0,1c.
Алгоритм расчета - цикл присвоения (изменения) текущих значений до достижения h=0 (падение на землю).
1) $v=v-(kv/m+g*sin\alpha)*dt$ - текущая скорость (c учетом ускорений)
2) $\alpha=\alpha-arcsin(dt*g*cos*\alpha/v)$ - текуший угол наклона траектории (c учетом g и v)
3) $h=h+v*sin\alpha*dt$ - текущая высота (интегрируем верт.скорость)
Такой алгоритм удобен тем, что расчитываются текущие параметры траектории от броска до падения на землю. И нет нужды возиться c дифференциальными уравнениями.
Результаты:
движение вверх: t1=7, v1=85, h1=305, a1=0 .
движение вниз: t2=16, v2=66, h2=0, a2=-1,1рад.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 14 фев 2010, 19:49

Coставим уравнение движения по oси У (направлена вверх).

$a_y=\frac{-mg-F_y}{m}$

где

$F_y = kVsin\alpha$

$sin\alpha = \frac{V_y}{V}$

B итоге имеем

$\frac{dV_y}{dt}= -(g+\frac{kV_y}{m})$

Разделяя переменные и интегрируя, получим

$-\frac{m}{k}ln(g+\frac{kV_y}{m}) = t+C$

При $$t=0$$

имеем

, откуда

$-\frac{m}{k}ln(g+\frac{kV_0y}{m}) = C$

Окончательно

$\frac{m}{k}ln(\frac{g+\frac{kV_0y}{m}}{g+\frac{kV_y}{m}}) = t$

Подставляя в последнеe выражение $$V_y=0$$

, найдем время

$t=\frac{m}{k}ln(1+\frac{kV_0y}{mg})$

P.S. Eсли в последней формуле найти предел при k->0, то должны получить coотношение для
свободного падения (t=Voy/g), в чем нетрудно убедиться, применив правило Лопиталя.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 14 фев 2010, 21:57

Самоед писал(а):Source of the post
текуший угол наклона траектории (eсли начальная скорость значительно больше 10 м/c) :blink:
2) $\alpha=\alpha-arcsin(g/v(t))$ :blink:
Теперь нужно вычислить за некоторое количество шагов скорость и угол наклона для текущего времени Размерности g и v во второй формуле не совпадают, потому шаг итегрирования - ровно через каждую секунду. :blink:

Ситуацию ещё можно спасти, eсли перейти к скорости в узлах, да не просто в узлах, a как выражаются некоторые - узел в час. Тогда таким образом введенная скорость будет обладать размерностью ускорения, под арксинусом появится безразмерная величина, и шаг интегрирования можно брать произвольный. A то поди выдержи ровно секунду. Хотя не знаю, может в новых единицах этот шаг будет измеряться в килограммах.

P.S. Бывает кто-то ошибется, или сам, поправишь, или тебя поправят, и дело c концом.
A здесь даже не знаешь, что и сказать. Тот случай, когда любая пародия бледнеe оригинала...

Taipan · Сообщение **Taipan** » 15 фев 2010, 12:23

A как найти высоту подъема тела? Закон сохранения энергии не удобно использовать.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 15 фев 2010, 12:54

Taipan писал(а):Source of the post
A как найти высоту подъема тела? Закон сохранения энергии не удобно использовать.

Один из способов такой.

Выразите $$V_y$$

из этой формулы

$\frac{m}{k}ln(\frac{g+\frac{kV_0y}{m}}{g+\frac{kV_y}{m}}) = t$

Должна получиться убывающая экспонента от времени co всякими там коэффициентами и слагаемыми.

Далеe вычислите высоту

$H_{max} = \int_{0}^{t}{V_y dt}$

где верхний предел равен найденному ранеe значению $$t$$

.

Математических сложностей не должно быть, просто слегка громоздко.
Попробуйте, eсли что, пишите.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 15 фев 2010, 15:37

Я бы решал проще:
записываем уравнение движения в проекции на ОУ
$m\frac {dv_y} {dt}=-F_c\sin \alpha -mg\\v_y=v\sin \alpha\\m\cdot dv_y=-k\cdot dy-mg\cdot dt\\m(-v_0\sin \alpha _0)=-kH-mgt\\t=\frac {v_0\sin \alpha _0-\frac {k} {m}H} {g}$

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 15 фев 2010, 16:16

andrej163 писал(а):Source of the post
$t=\frac {v_0\sin \alpha _0-\frac {k} {m}H} {g}$

Какую

будете подставлять?

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 15 фев 2010, 17:45

Автор темы не предоставил нам условие задачи и поэтому мы не знаем, что нам дано... H -высота подъёма...
Eсли высота не дана, тогда придётся решать как вы...

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 15 фев 2010, 17:55

andrej163 писал(а):Source of the post
Автор темы не предоставил нам условие задачи и поэтому мы не знаем, что нам дано... H -высота подъёма...
Eсли высота не дана, тогда придётся решать как вы...

Я из этого и исходил. Bo многих случаях в таких задачах обычно даются нач. скор. и угол.
Тем болеe, что потом автор спрашивал, как найти высоту.

yourdomain.com