интегралы

Nina · Сообщение **Nina** » 20 дек 2008, 22:35

Помогите пожалуйста найти

$\int_{}^{}{\frac {x^3+x} {x^4+1}dx}$

$\int_{}^{}{\frac {x} {\sqrt{x-1}}dx}$

uniquem · Сообщение **uniquem** » 21 дек 2008, 12:22

$\int \frac {x^3+x} {x^4+1}dx=\int \frac {x^3} {x^4+1}dx+\int\frac {x} {x^4+1}dx=\frac {1} {4}\int\frac {d(x^4+1)} {x^4+1}+\frac {1} {2}\int\frac {d(x^2)} {x^4+1}=...$

$\int\frac {x} {\sqrt{x-1}}dx=\int\frac {x+1-1} {\sqrt{x-1}}dx=\int\frac {x-1} {\sqrt{x-1}}dx+\int\frac {dx} {\sqrt{x-1}}=...$

Дальше сами

Nina · Сообщение **Nina** » 23 дек 2008, 15:41

Спасибо!
A посмотрите пожалуйста ещё вот эти

$\int_{}^{}{\frac {x+\frac {1} {x}} {\sqrt{x^2+1}}dx}$

$\int_{}^{}{\frac {x+3} {x^2-x+1}dx}$

uniquem · Сообщение **uniquem** » 23 дек 2008, 16:18

Nina, a в чём загвоздка??

Nina · Сообщение **Nina** » 23 дек 2008, 16:56

B первом так?

$\int_{}^{}{\frac {x+\frac {1} {x}} {\sqrt{x^2+1}}dx}=\int_{}^{}{\sqrt{1+\frac {1} {x^2}}dx}$

или так нужно?

$\int_{}^{}{\frac {x+\frac {1} {x}} {\sqrt{x^2+1}}dx}=\int_{}^{}{\frac {x} {\sqrt{x^2+1}}dx}+\int_{}^{}{\frac {1} {x\sqrt{x^2+1}}dx}$
второе слагаемое не знаю как найти

Второй не знаю...Что тут нужно сделать?

uniquem · Сообщение **uniquem** » 23 дек 2008, 17:30

Nina писал(а):Source of the post
B первом так?
$\int_{}^{}{\frac {x+\frac {1} {x}} {\sqrt{x^2+1}}dx}=\int_{}^{}{\frac {x} {\sqrt{x^2+1}}dx}+\int_{}^{}{\frac {1} {x\sqrt{x^2+1}}dx}$
второе слагаемое не знаю как найти

попробуйте сделать замену $\sqrt{x^2+1}=t$

Второй не знаю...Что тут нужно сделать?

Выделите полный квадрат в знаменателе
$x^2-x+1=(x-\frac {1} {2})^2+\frac {3} {4}$
и выражаем числитель и dx через $x-\frac {1} {2}$
Eсли не очень понятно, спрашивайте

Nina · Сообщение **Nina** » 23 дек 2008, 19:12

не совсем понятно, можно поподробнеe

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 23 дек 2008, 19:17

uniquem писал(а):Source of the post
Nina писал(а):Source of the post
B первом так?
$\int_{}^{}{\frac {x+\frac {1} {x}} {\sqrt{x^2+1}}dx}=\int_{}^{}{\frac {x} {\sqrt{x^2+1}}dx}+\int_{}^{}{\frac {1} {x\sqrt{x^2+1}}dx}$
второе слагаемое не знаю как найти

попробуйте сделать замену $\sqrt{x^2+1}=t$

Э нет, здесь нужна замена $\sqrt{x^2+1} = t+x$ . Возводим в квадрат, сокращаем на $$x^2$$

и выражаем через t. B результате получим интеграл от рациональной функции.

A еще лучше воспользоваться заменой $x = \sh t$ .

uniquem · Сообщение **uniquem** » 23 дек 2008, 19:57

Тогда у меня вопрос.... Почему нельзя так??
$\sqrt{x^2+1}=t\\x^2+1=t^2\\x^2=t^2-1\\x=\sqrt{t^2-1}$

$dx=\frac {2t} {2\sqrt{t^2-1}}=\frac {t} {\sqrt{t^2-1}}$

$\int \frac {1} {x\sqrt{x^2+1}}dx=\int\frac {t} {t\sqrt{t^2-1}\sqrt{t^2-1}}dt=\int\frac {1} {(t-1)(t+1)}dt$

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 23 дек 2008, 20:03

uniquem писал(а):Source of the post
Тогда у меня вопрос.... Почему нельзя так??

+1 Забыл про $$dx$$

yourdomain.com