Анику про механику
Добавлено: 26 фев 2014, 15:44
Итак, в первом "школьном" решении радиус-вектор точки изменялся только по направлению, равномерно вращаясь, а во втором "школьном" решении радиус-вектор точки изменялся только по модулю, и точка колебалась вдоль прямой. В общем случае радиус-вектор будет изменяться и по модулю и по направлению.
Докажем, что в общем случае каждая точка будет двигаться по эллипсу так, что ц.м. системы двух точек будет в центре эллипса.
Заметим, что при таком движении за один период поворота радиус-вектора вокруг ц.м. модуль радиус-вектора дважды достигнет максимальной (и минимальной) длины. Это значит, что модуль будет изменяться с двойной частотой по отношению к частоте обращения вокруг ц.м.
Эксцентриситет эллипса будет зависеть от угла . Предположим, сначала, что угол задан начальными условиями движения, потом этот угол будет выражен через "более естественные" начальные условия (сейчас пока трудно сказать, какие именно). В процессе движения этот угол остаётся постоянным
Теперь, нам нужно связать геометрические параметры вращения вектора по кругу с параметрами вращения вектора по эллипсу. Если бы мы знали как изменяется угол между векторами и , в зависимости от углов и , то нашли бы и связь между модулями векторов и , поскольку вектор есть проекция вектора на горизонтальную плоскость.
На рисунке, изображающая точка движется равномерно по дуге большого круга проходящей через точки , а действительная точка движется по дуге эллипса (изображён синим цветом), который лежит в горизонтальной плоскости (круг с дугой ). Угол между плоскостью движения изображающей точки и горизонтальной плоскостью (в которой эллипс) обозначен как . Заметим, что это и есть двугранный угол , поскольку угол (тоже двугранный) прямой.
Угол между векторами и на рисунке обозначен буквой . Этот угол можно найти из сферического треугольника со сторонами и .
Пока хватит, остальное - завтра.
***Устранил ошибку, везде поправил на .
Докажем, что в общем случае каждая точка будет двигаться по эллипсу так, что ц.м. системы двух точек будет в центре эллипса.
Заметим, что при таком движении за один период поворота радиус-вектора вокруг ц.м. модуль радиус-вектора дважды достигнет максимальной (и минимальной) длины. Это значит, что модуль будет изменяться с двойной частотой по отношению к частоте обращения вокруг ц.м.
Эксцентриситет эллипса будет зависеть от угла . Предположим, сначала, что угол задан начальными условиями движения, потом этот угол будет выражен через "более естественные" начальные условия (сейчас пока трудно сказать, какие именно). В процессе движения этот угол остаётся постоянным
Теперь, нам нужно связать геометрические параметры вращения вектора по кругу с параметрами вращения вектора по эллипсу. Если бы мы знали как изменяется угол между векторами и , в зависимости от углов и , то нашли бы и связь между модулями векторов и , поскольку вектор есть проекция вектора на горизонтальную плоскость.
На рисунке, изображающая точка движется равномерно по дуге большого круга проходящей через точки , а действительная точка движется по дуге эллипса (изображён синим цветом), который лежит в горизонтальной плоскости (круг с дугой ). Угол между плоскостью движения изображающей точки и горизонтальной плоскостью (в которой эллипс) обозначен как . Заметим, что это и есть двугранный угол , поскольку угол (тоже двугранный) прямой.
Угол между векторами и на рисунке обозначен буквой . Этот угол можно найти из сферического треугольника со сторонами и .
Пока хватит, остальное - завтра.
***Устранил ошибку, везде поправил на .