Решить уравнение

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 26 май 2013, 19:42

задача: две бригады должны отремонтировать участок шоссейной дороги за 18 дней. Однако, на самом деле его ремонтировали по-очередно две бригады, причем первая отличилась большей производительностью и в итоге работы были проведены за 40 дней при том, что первая бригада выполнила 2/3 объема работы. За сколько времени каждая бригада отремонтировала бы участок дороги?

Система, к к-рой я пришел $\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{18} \\ \frac{2}{3x} + \frac{1}{3y} = \frac{1}{40} \end{aligned}$ Правильно?

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 15 авг 2013, 19:45

Допустимо ли во всех случаях такое решение тригонометрического ур-ния вида

$\displaystyle \sin 2x = -\cos (x - 10) \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left(\frac{\pi}{2} + (x - 10) \right) \Leftrightarrow 2x = \left(\frac{\pi}{2} + (x - 10) \right)$ ?

Если бы например было бы такое $\displaystyle \sin 3x = \cos 5x$ , то $\displaystyle \sin 2x = \sin \left(\frac{\pi}{2} - 5x \right)$ и далее переносим левую часть, используем формулу преобразования суммы в произведение. Но можно ли так? $\displaystyle 2x = \left(\frac{\pi}{2} - 5x \right)$ . Ведь корни же теряются.

Ian · Сообщение **Ian** » 15 авг 2013, 22:01

ILJA Sh. писал(а):Source of the post Если бы например было бы такое $\displaystyle \sin 3x = \cos 5x$ , то $\displaystyle \sin 2x = \sin \left(\frac{\pi}{2} - 5x \right)$ и далее переносим левую часть, используем формулу преобразования суммы в произведение.

Да, так правильно и надежно

Но можно ли так? $\displaystyle 2x = \left(\frac{\pi}{2} - 5x \right)$ . Ведь корни же теряются.

Из равенства синусов не следует равенство аргументов, например $\sin\frac{\pi}6=\sin\frac{5\pi}6=0,5$ А что следует? Можно нарисовать тригонометрическую окружность, и посмотреть, в каком случае две точки на ней имеют одну и ту же проекцию на вертикальную ось.И делаем вывод, что два варианта: либо они визуально совпадают, а на самом деле отличаются на $2\pi n$ , либо они в сумме составляют $\pi$ , умноженное на нечетное число.Эти же варианты возникают после преобразования разности синусов в произведение, так и пишите в след.раз.

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 26 авг 2013, 11:26

Тогда, так нормально будет?

$\displaystyle \sin 2x = -\cos (x - 10) \Leftrightarrow \sin 2x + \cos (x - 10) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x + \sin \left(\frac{\pi}{2} - (x - 10)\right) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2 \sin \frac{2x + \frac{\pi}{2} - x + 10}{2} \cos \frac{2x - \frac{\pi}{2} + x - 10}{2} = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle 2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x + 10}{2} \right) \cos \left(\frac{3x - 10}{2} -\frac{\pi}{4} \right) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\pi}{4} + \frac{x + 10}{2} = \pi n \\ \frac{3x - 10}{2} -\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n \end{aligned} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \begin{aligned} x_1 = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n - 10 \\ x_2 = \frac{\pi}{2} + \frac{2 \pi n + 10}{3} \end{aligned} \Leftrightarrow$

Ian · Сообщение **Ian** » 26 авг 2013, 21:32

ILJA Sh. писал(а):Source of the post $\displaystyle 2 \sin \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x + 10}{2} \right) \cos \left(\frac{3x - 10}{2} -\frac{\pi}{4} \right) = 0 \Leftrightarrow$

под синусом не минус а плюс. что и на дальнейшее повлияет

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 27 авг 2013, 18:17

Ian писал(а):Source of the post
ILJA Sh. писал(а):Source of the post $\displaystyle 2 \sin \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x + 10}{2} \right) \cos \left(\frac{3x - 10}{2} -\frac{\pi}{4} \right) = 0 \Leftrightarrow$

под синусом не минус а плюс. что и на дальнейшее повлияет

Исправил. Теперь хорошо?

Ian · Сообщение **Ian** » 27 авг 2013, 20:28

хорошо)

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 10 сен 2013, 19:24

Требуется решить уравнение

$\displaystyle \frac{x}{(x + 1)^2} + \frac{x - 1}{(x + 1)^2} + \frac{x - 2}{(x + 1)^2} +...+\frac{1}{(x + 1)^2} = \frac{19}{40}$

Что-то не выходит у меня складно.

$\displaystyle \frac{1}{(x + 1)^2}(x + x + ...+ x - (1 + 2 + .. + n) + 1) = \frac{19}{40} \Leftrighatrrow$

$\displaystyle \frac{1}{(x + 1)^2}\left(nx - \left(\frac{n(n + 1)}{2} \right) + 1 \right) = \frac{19}{40} \Leftrighatrrow ?????????????????????????$

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 11 сен 2013, 18:55

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Требуется решить уравнение

$\displaystyle \frac{x}{(x + 1)^2} + \frac{x - 1}{(x + 1)^2} + \frac{x - 2}{(x + 1)^2} +...+\frac{1}{(x + 1)^2} = \frac{19}{40}$

Что-то не выходит у меня складно.

$\displaystyle \frac{1}{(x + 1)^2}(x + x + ...+ x - (1 + 2 + .. + n) + 1) = \frac{19}{40} \Leftrighatrrow$

$\displaystyle \frac{1}{(x + 1)^2}\left(nx - \left(\frac{n(n + 1)}{2} \right) + 1 \right) = \frac{19}{40} \Leftrighatrrow ?????????????????????????$

Попробуем симметрично брать члены из начала и конца:
$\displaystyle \frac{x}{(x + 1)^2} +\frac{1}{(x + 1)^2} = \frac{x+1}{(x+1)^2}$
$\displaystyle \frac{x - 1}{(x + 1)^2} + \frac{2}{(x + 1)^2} = \frac{x+1}{(x+1)^2}$ ...
И еще зададим себе вопрос - сколько будет таких попарных сумм при четном или при нечетном x.

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 12 сен 2013, 16:00

Andrew58 писал(а):Source of the post
$\displaystyle \frac{x - 1}{(x + 1)^2} + \frac{2}{(x + 1)^2} = \frac{x+1}{(x+1)^2}$

А откуда там $\displaystyle \frac{2}{(x + 1)^2}$ ? Имелось ли в виду в условии, что ряд должен выглядеть как

$\displaystyle \frac{x}{(x + 1)^2} + \frac{x - 1}{(x + 1)^2} + \frac{x - 2}{(x + 1)^2} +... + \frac{3}{(x + 1)^2} + \frac{2}{(x + 1)^2} +\frac{1}{(x + 1)^2} = \frac{19}{40}$ ?

yourdomain.com