yourdomain.com

Нашёл ошибку в дроби...)

$\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n+2}$ ...

Вроде получается в итоге $\frac{1}{2}$

Всем большое спасибо!

Как преобразовать такой ряд, чтобы записать его в виде бесконечной суммы?

$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+...$

Тут получается, что каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на $\frac{1}{2}$ , то есть

$a_{n-1}=\frac{1}{2a_n}$

Ногин Антон писал(а):Source of the post Как преобразовать такой ряд, чтобы записать его в виде бесконечной суммы?

$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+...$

Тут получается, что каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на $\frac{1}{2}$ , то есть

$a_{n-1}=\frac{1}{2a_n}$

Так все просто, n-ый член - $\displaystyle a_n= \frac {1}{3 \cdot 2^{n-1}}$ , a сам ряд $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac {1}{3 \cdot 2^{n-1}}$

Он расходится, если не ошибаюсь?

По Д'Аламберу такой предел получается:

$\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{3\cdot 2^n}\cdot 3\cdot 2^{n-1}=\frac12 <1$

Ногин Антон писал(а):Source of the post Он расходится, если не ошибаюсь?

Как расходится? Это ж геомпрогрессия c $$q<1$$

!

A каким признаком тогда его ... ?

Ногин Антон писал(а):Source of the post
A каким признаком тогда его ... ?

Да тем же Д'Аламбером Вы неправильно вывод сделали:

Ногин Антон писал(а):Source of the post
$\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{3\cdot 2^n}\cdot 3\cdot 2^{n-1}=\frac12 <1$

Вспомните получше, какой предел этого выражения соответствует сходимости, какой - расходимости.
A вообще, это изучают задолго до изучения рядов - сумму геометрической прогрессии c модулем знаменателя меньше 1. Признак Д'Аламбера даже тут использовать несколько некорректно, поскольку он сам следует именно из сходимости геометрической прогрессии.

Я сам запутался, и Bac запутал - раз меньше единицы, тогда ряд сходится (если по ДАламберу)..

Ногин Антон писал(а):Source of the post
Я сам запутался, и Bac запутал - раз меньше единицы, тогда ряд сходится (если по ДАламберу)..

Конечно. A вообще надо было сразу увидеть геометрическую прогрессию - отметили же, что каждый член составляет $$1/2$$

предыдущего. Хотя если в задании несколько разных рядов, проверяемых по Д'Аламберу, то неизвестно, как лучше записать данный.

Ногин Антон писал(а):Source of the post
$a_{n-1}=\frac{1}{2a_n}$

Лучше сразу было переписать это равенство в виде отношения соседних членов

, a не сначала искать явную формулу для общего члена ряда, a потом искать то же отношение.

yourdomain.com

Предел**

Предел**

Предел**

Предел**

Предел**

Предел**

Предел**

Предел**

Предел**

Предел**

Предел**