Откуда берётся минус в формуле потенциальной энергии?

frim_ax · Сообщение **frim_ax** » 16 авг 2014, 14:06

$g=\frac {GM} {r^2}$
r - это радиус земли, он очень большой. g - берётся как относительно постоянная величина, для удобства.
$F=\frac {GMm} {r^2}$
это формула силы
$$g=F/m$$

g остаётся относительно постоянной, если не брать высоты, сильно отличающиеся от радиуса Земли. отклонения - тысячные доли.
Теперь нужно узнать, что такое энергия и как она вычисляется. Потенциальная энергия равна работе, которую тело может совершить под действием силы при перемещении из точки А в точку, принятую за точку отсчёта (данной силы). Работа равна силе умноженной на растояние. А сила равна ускорению умноженному на массу.
$$F=am$$

, подставляем вместо a ускорение свободного падения
$$F=gm$$

, путь - это высота с которой падает тело
$$E=mgh$$

Вот так получается эта школьная приближённая формула. Приближённая поскольку в действительности g - непостоянная величина.
Учитывая, что g непостоянная величина, получить истинное значение гравитационной энергии можно путём интегрирования силы.

AAA1111 · Сообщение **AAA1111** » 16 авг 2014, 15:14

frim_ax писал(а):Source of the post
Потенциальная энергия равна работе, которую тело может совершить под действием силы при перемещении из точки А в точку, принятую за точку отсчёта (данной силы).

Вы такую же распространённую ошибку допустили, как и многие допускают в этом. Так и я раньше недавно тоже ошибался.

Ошибка в том, что это не потенциальная энергия равна работе, а изменение потенциальной энергии равно работе, да и то с противоположным знаком:
$\Delta E = - A$ .

А потенциальная энергия, это потенциальная энергия в точке строго говоря. Она равна:
$E_p = - \frac{GmM}{r}$

frim_ax · Сообщение **frim_ax** » 16 авг 2014, 15:20

Нет. Это если тело проделало над чем-то работу, его энергия уменьшилась на величину работы. Например, тело упало на стол и совершило работу над ним, передав энергию в виде механических колебаний. При этом его (тела, а не стола) энергия уменьшилась на величину работы. А у стола возросла на ту же величину.
А вот если его энергия возрастает под действием силы, то на величину работы силы.

AAA1111 · Сообщение **AAA1111** » 16 авг 2014, 15:55

frim_ax писал(а):Source of the post
Нет. Это если тело проделало над чем-то работу, его энергия уменьшилась на величину работы. Например, тело упало на стол и совершило работу над ним, передав энергию в виде механических колебаний. При этом его (тела, а не стола) энергия уменьшилась на величину работы. А у стола возросла на ту же величину.
А вот если его энергия возрастает под действием силы, то на величину работы силы.

Это Вы к чему, всё это? Расшифруйте.
Хотите сказать, что:
$\Delta E = A$ ?
Тело падает.
При падении тела на Землю п. энергия его уменьшается. Согласны?
Сила тяжести совершает в таком случае положительную работу. Согласны?
Изменение потенциальной энергии тела в таком случае отрицательное. Согласны?

А если тело удаляется от Земли сторонней силой, то этой сторонней силой проделывается положительная работа. Силой тяжести же тогда проделывается отрицательная работа. Согласны?
П. энергия тела, тогда возрастает. Согласны?
Изменение потенциальной энергии тела положительное. Согласны?

Ну и?

frim_ax · Сообщение **frim_ax** » 16 авг 2014, 16:15

AAA1111 писал(а):Source of the post
Изменение потенциальной энергии тела в таком случае отрицательное. Согласны?

А изменение кинетической энергии положительное. В этом и состоит работа силы тяжести. А чтобы удалить от центра масс требуется работа другой силы.

AAA1111 · Сообщение **AAA1111** » 17 авг 2014, 09:16

frim_ax писал(а):Source of the post
А изменение кинетической энергии положительное. В этом и состоит работа силы тяжести. А чтобы удалить от центра масс требуется работа другой силы.

Ну мы же про потенциаяльную энергию говорим и о её изменении соответственно.
Думал это из контекста понятно.
Но точнее будет тогда так:
$\Delta E_p = - A$ ?

Давайте ещё раз по порядку.
Потенциальная энергия в точке это:
$E_p = - \frac{GmM}{r}$ . Согласны?
Изменение потенциальной энергии это:
$\Delta E_p = - A = - (E_p_1 - E_p_2)$ . Согласны?

Тогда что такое:
$$mgH$$

и $\frac{GmMH}{R^2}$ ?
И почему это называют потенциальной энергией в точке,
когда на самом деле это работа силы тяжести, только работа и не что иное?
Работа силы тяжести при H << R это:$$A = |F_ò| |\Delta x|cos \alpha = mgh = \frac{GmMH_1}{R^2} - \frac{GmMH_2}{R^2} = \frac{GmMH}{R^2}$$. Согласны?
Тогда зачем вообще сюда приплетать ещё и потенциальную энергию в эту формулу? Не вижу смысла.
Мало того, что это создаёт огромную путаницу, так плюс ко всему это ещё и элементарно ошибочно.

Формулы:
$- \frac{GmM}{r}$
и
$\frac{GmMH}{R^2}$
абсолютно разные, и поэтому они не равняются друг другу ни при каких обстоятельствах даже приблизительно (за исключением когда r стремится к 0, но на существо вопроса это не влияет)
Тогда почему и то и другое называется одинаково,
"потенциальная энергия в точке?"

Надеюсь теперь ещё понятнее.

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 17 авг 2014, 09:37

AAA1111 писал(а):Source of the post абсолютно разные, и поэтому они не равняются друг другу ни при каких обстоятельствах даже приблизительно

Равняются, приблизительно, при малых $$H = R-r$$

, с точностью до постоянной $\frac{GmM}{R}$ .

AAA1111 писал(а):Source of the post
Тогда что такое:
и $\frac{GmMH}{R^2}$ ?

Это одно и то же.

AAA1111 писал(а):Source of the post
Работа силы тяжести при H << R это:$$A = |F_ò| |\Delta x|cos \alpha = mgh = \frac{GmMH_1}{R^2} - \frac{GmMH_2}{R^2} = \frac{GmMH}{R^2}$$. Согласны?

Если имеется ввиду подъём тела на высоту $$H$$

, то $\cos{\alpha}=-1$ . Если падение тела с высоты $$H$$

, то тогда правильно.

AAA1111 · Сообщение **AAA1111** » 17 авг 2014, 14:06

Dragon27 писал(а):Source of the post
Равняются, приблизительно, при малых , с точностью до постоянной $\frac{GmM}{R}$ .

С такой точностью это очевидно уже не приблизительно. Т.е. не равняются они ни каким боком.

Если имеется ввиду подъём тела на высоту , то $\cos{\alpha}=-1$ . Если падение тела с высоты , то тогда правильно.

И тут Вы не правы. Потому что, при подъёме тела, Н будет отрицательным. И всё выражение значит тоже будет отрицательным. Так что противоречия нет. Т.е. правильно будет в обоих случаях, а не только при падении тела.

Это одно и то же.

Ясное дело, что одно и тоже. для наглядности привёл. Чтобы очевидна была разница с формулой потенциальной энергии в точке.

frim_ax · Сообщение **frim_ax** » 17 авг 2014, 14:37

AAA1111 писал(а):Source of the post
frim_ax писал(а):Source of the post
А изменение кинетической энергии положительное. В этом и состоит работа силы тяжести. А чтобы удалить от центра масс требуется работа другой силы.

Ну мы же про потенциаяльную энергию говорим и о её изменении соответственно.

Нет, мы говорим не про изменение потенциальной энергии, а про потенциальную энергию. А она равна работе, которую сила может совершить при перемещении из точки А в точку Б. А работа равна разнице кинетических энергий.
Вы когда беседуете и рассуждаете, учебник с определениями в руках держите? Просто возьмите что такое работа, что такое сила, что такое ускорение, что такое потенциальная энергия и кинетическая энергия и сопоставьте.

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 17 авг 2014, 14:56

AAA1111 писал(а):Source of the post С такой точностью это очевидно уже не приблизительно. Т.е. не равняются они ни каким боком.

Я вам только что сказал, каким именно боком. Разница лишь в точке отсчёта (в указанной мной постоянной).

AAA1111 писал(а):Source of the post И тут Вы не правы. Потому что, при подъёме тела, Н будет отрицательным.

будет отрицательным, если под $$H$$

имеется в виду расстояние, на которое тело опустилось (то есть, ось координат направлена вниз). Если же $$H$$

считается вверх (как например в формуле потенциальной энергии $$mgh$$

), то именно так как я сказал. Я просто уточнил, чтобы не было разночтений.

AAA1111 писал(а):Source of the post Чтобы очевидна была разница с формулой потенциальной энергии в точке.

Чтобы была очевидна схожесть?
Проделайте небольшое упражнение - вычислите изменение потенциальной энергии для тела, поднявшегося на высоту $$H$$

, по обеим формулам.

yourdomain.com