Конечно разностные уравнения

Амелия

Никак не могу понять как находится частное решение для конечно разностного уравнения. Имеется уже готовый пример:
Открытая экономика

$$Y+M=C+I+X$$

Y - доход, M - импорт, С - сбережение, I - инвестиции, X - экспорт.

$C_t=a+bY_{t-1}$

$I_t=hY_{t-1}+I_0+\Delta I$

$X_t=X_0+\Delta X$

$M_t=nY_{t-1}+M_0$

$$0<m<1$$

- предельная склонность к импорту

далее имеется следующее решение уже

$Y_t=A(b+h-m)^t+\frac {a+I_0+\Delta I} {1-b-h+m}$

как найдена первая часть решения мне понятно, а вот со второй проблемы, такую дробь можно получить исходя из предположения равенства импорта экспорту и постоянства дохода, скажите мысль правильна или нет? и второй вопрос можно ли судить о поведении системы не зная часного решения?
Заранее благодарю за помощь!

Ian · Сообщение **Ian** » 03 янв 2013, 12:03

Амелия писал(а):Source of the post
Никак не могу понять как находится частное решение для конечно разностного уравнения. Имеется уже готовый пример:
Открытая экономика

Y - доход, M - импорт, С - сбережение, I - инвестиции, X - экспорт.

$C_t=a+bY_{t-1}$

$I_t=hY_{t-1}+I_0+\Delta I$

$X_t=X_0+\Delta X$

$M_t=nY_{t-1}+M_0$

- предельная склонность к импорту

далее имеется следующее решение уже

$Y_t=A(b+h-m)^t+\frac {a+I_0+\Delta I} {1-b-h+m}$

как найдена первая часть решения мне понятно, а вот со второй проблемы, такую дробь можно получить исходя из предположения равенства импорта экспорту и постоянства дохода, скажите мысль правильна или нет? и второй вопрос можно ли судить о поведении системы не зная часного решения?
Заранее благодарю за помощь!

Правильное у них почти решение, причем не надо никаких предположений
$$Y_t=C_t+I_t+X-M_t$$

из первого равенства. Выражаем все через данные предыдущего периода
$Y_t=a+bY_{t-1}+hY_{t-1}+I_0+\Delta I+X_0+\Delta X-mY_{t-1}-M_0=(b+h-m)Y_{t-1}+C1$ , где С1 -некоторая константа (не совсем та же, что в цитате). Это неоднородное разностное уравнение первого порядка. Мы знаем, что однородные первого порядка решаются влет, в ответе будет геометрическая прогрессия. Подберем константу $\beta$ , чтобы для $Y_t-\beta$ уравнение стало однородным, а именно вида
$Y_t-\beta=(b+h-m)(Y_{t-1}-\beta)$ преобразуем
$Y_t=(b+h-m)Y_{t-1}+\beta(1-b-h+m)$ , отсюда
$\beta=\frac {C1}{1-b-h+m}$ и
$Y_t=\beta +A(b+h-m)^t=...$
Если скобка меньше -1, то все идет враскачку и становится отрицательным даже то что им быть не должно, модель явно неприменима. Если скобка меньше 1 по модулю, все стабилизируется вокруг $\beta$ .Если скобка >1 -экспоненциальный рост. Если скобка =1, мы неправильно решали, на 0 делить нельзя было. Но экспериментальные данные не бывают равны ровно 1, не надо округлять

Амелия

Спасибо за разъяснение! У меня возник только один вопрос: а если бы у нас было неоднородное уравнение второго порядка каким образом находилось бы его решение? Однородное решается составлением характеристического квадратного уравнения и нахождения его корней, ведь так?

Ian · Сообщение **Ian** » 03 янв 2013, 21:33

Амелия писал(а):Source of the post
а если бы у нас было неоднородное уравнение второго порядка каким образом находилось бы его решение? Однородное решается составлением характеристического квадратного уравнения и нахождения его корней, ведь так?

Да. вот несколько темок
1
2
3
А к одной теме даже прикрепили методичку по решению разностных уравнений, года 3 назад было, но не нахожу(

yourdomain.com