Сумма

Hellko · Сообщение **Hellko** » 16 сен 2012, 17:02

Добрый день.
Имеется последовательность: $\frac{1}{2}, \frac{2}{2^2}, ..., \frac{n}{2^n}$
Необходимо посчитать сумму при $n\to\infty$ . Подскажите с чего начать.

da67 · Сообщение **da67** » 16 сен 2012, 17:24

Начать можно с суммы $\sum x^n/2^n$ . Потом взять производную и подставить $$x=1$$

.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 16 сен 2012, 18:32

$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}$
$\displaystyle S_{n+1}=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{2^{k}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(S_n+ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k}} \right)$
$\displaystyle S_{n+1}=S_n+\frac{n+1}{2^{n+1}}$

Отсюда находим $\displaystyle S_n$ и переходим к пределу при $\displaystyle n \to \infty$ .

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 17 сен 2012, 09:00

Ellipsoid писал(а):Source of the post
Отсюда находим $\displaystyle S_n$ и переходим к пределу при $\displaystyle n \to \infty$ .

+1
Однако! Не знаю, как кому, а мне понравилось.
S=2.

Ian · Сообщение **Ian** » 17 сен 2012, 10:31

Мне тоже понравилось

Ellipsoid писал(а):Source of the post
$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}$
$\displaystyle S_{n+1}=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{2^{k}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(S_n+ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k}} \right)$
$\displaystyle S_{n+1}=S_n+\frac{n+1}{2^{n+1}}$

Отсюда находим $\displaystyle S_n$ и переходим к пределу при $\displaystyle n \to \infty$ .

Но можно еще сократить - перейти к пределу уже во второй строчке (ссылаемся на его существование)

Hellko · Сообщение **Hellko** » 17 сен 2012, 12:07

спасибо всем. посчитал.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 17 сен 2012, 21:37

grigoriy писал(а):Source of the post мне понравилось

Ian писал(а):Source of the post Мне тоже понравилось

Рад, что вам понравилось.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 17 сен 2012, 22:01

Ian писал(а):Source of the post
Но можно еще сократить - перейти к пределу уже во второй строчке (ссылаемся на его существование)

Да, намного проще. В силу признака Даламбера (в предельной форме) ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$ сходится, значит, $\displaystyle S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}S+\frac{1}{2}\lim_{n \to \infty}{\frac{\frac{1}{2} \left(1-\left(\frac{1}{2} \right)^n \right)}{1-\frac{1}{2}}}$ , откуда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}=2$ .

yourdomain.com

Сумма

Сумма

Сумма

Сумма

Сумма

Сумма

Сумма

Сумма

Сумма

Кто сейчас на форуме