Помогите взять интеграл

Belka-svistelka

Добрый день всем участникам.

Решала один из примеров и получила в качестве одного из промежуточных результатов такой интеграл:
$\int{\frac{sin^3x} {sin^2x + C} dx}$
Не могу придумать, как упростить подынтегральное выражение и взять интеграл, если С не равно 0. Буду благодарна за любую помощь. Спасибо.

Ian · Сообщение **Ian** » 28 окт 2011, 11:56

новая переменная $\cos x$ , то есть $-\sin x$ "внести под лифференциал"

Belka-svistelka

Ian,спасибо за подсказку. Мне стыдно признаться, но у меня все равно непонятно что получается:

$\int{\frac {sin^3x} {sin^2x+C} dx} = \int{\frac {sinx sin^2x} {sin^2x+C} dx} = - \int{\frac {1 - cos^2x} {1 - cos^2x+C} d(cosx)}$

Что дальше со всем этим делать? :blink: Спасибо.

Hellko · Сообщение **Hellko** » 01 ноя 2011, 20:37

Belka-svistelka писал(а):Source of the post
Ian,спасибо за подсказку. Мне стыдно признаться, но у меня все равно непонятно что получается:

$\int{\frac {sin^3x} {sin^2x+C} dx} = \int{\frac {sinx sin^2x} {sin^2x+C} dx} = - \int{\frac {1 - cos^2x} {1 - cos^2x+C} d(cosx)}$

Что дальше со всем этим делать? :blink: Спасибо.

прибавьте и вычтите С в числителе. затем каждое слагаемое поделить на знаменатель. получится 2 табличных интеграла. (1+С - константа)

СергейП

Belka-svistelka писал(а):Source of the post
Ian,спасибо за подсказку. Мне стыдно признаться, но у меня все равно непонятно что получается:

$\int{\frac {sin^3x} {sin^2x+C} dx} = \int{\frac {sinx sin^2x} {sin^2x+C} dx} = - \int{\frac {1 - cos^2x} {1 - cos^2x+C} d(cosx)}$

Что дальше со всем этим делать? :blink: Спасибо.

$t=\cos x$

$\displaystyle - \int{\frac {1 - cos^2x} {1 - cos^2x+C} d(cosx)}=- \int{\frac {1 - t^2} {1 -t^2+C} dt}=$
$\displaystyle =\int{\frac { t^2-1-C+C} {t^2-1-C} dt}=\int (1+\frac {C} {t^2-(C+1)}) dt}=...$

Belka-svistelka

Спасибо всем, кто откликнулся.

В итоге у меня получилась такая штука:

$- \int{\frac {1 - t^2 + C - C} {1 - t^2 + C} dt} = - \int{(1 - \frac {C} {1 - t^2 + C}) dt}$

$$1+C = C_2 $$

$-t + C\frac {1}{2\sqrt{C_2}}ln\frac{|\sqrt{C_2}+t|}{|\sqrt{C_2}-t|} +C_3$

Правильно?

Hellko · Сообщение **Hellko** » 01 ноя 2011, 21:26

Belka-svistelka писал(а):Source of the post
Спасибо всем, кто откликнулся.

В итоге у меня получилась такая штука:

$- \int{\frac {1 - t^2 + C - C} {1 - t^2 + C} dt} = - \int{(1 - \frac {C} {1 - t^2 + C}) dt}$

$-t + C\frac {1}{2\sqrt{C_2}}ln\frac{|\sqrt{C_2}+t|}{|\sqrt{C_2}-t|} +C_3$

Правильно?

с2 и t разуплотнить обратно. (обратную замену)
похоже на правду.

вот только знаки что то несовпадают у вас и ответом выше. а ну да. СергейП случайно внес один знак минус и в числитель и в знаменатель.

Belka-svistelka

Hellko, спасибо. О замене помню

mihailm · Сообщение **mihailm** » 01 ноя 2011, 21:42

там иногда арктангенс

Belka-svistelka

mihailm, расскажите подробнее, пожалуйста, в каких случаях

yourdomain.com