Доказательство делимости

Traim · Сообщение **Traim** » 02 июл 2011, 05:47

Нужно доказать, что выражение $$2n^3+3n^2+n$$

без остатка делится на 6 при любом целом $$n$$

Насколько я знаю, число делится на 6, когда оно делится одновременно на 2, и на 3. Ну, насчет того, что число четное, вопросов нет, но вот о делении на 3... Число делится на три, когда сумма его цифр делится на три, но в этом случае этот признак никак не может нам помочь, ведь само число мы точно не знаем. Тогда получается, что выражение нужно разложить на множители и чтобы каждый из них делился на 3. В этом и есть основная проблема, никак не пойму как это сделать. Заранее спасибо

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 02 июл 2011, 07:13

Доказательство по индукции. Никаких признаков делимости здесь не надо.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 02 июл 2011, 07:44

Traim писал(а):Source of the post
Нужно доказать, что выражение без остатка делится на 6 при любом целом

Traim · Сообщение **Traim** » 04 июл 2011, 04:31

Спасибо, через сутки мучений решение нашлось, как подсказывал Andrew58

Traim · Сообщение **Traim** » 04 июл 2011, 08:50

Помогите еще с одной задачкой. Думаю, половину я решил, а вот дальше.. Нужно найти все целые значения $$n$$

, при которых число $\frac {n(n+9)} {4}+2=\frac {(n+1)(n+8)} {4}$ является простым. Решение, вроде бы, всего одно: $$n=3$$

. Также понятно, что n - нечетное число. А вот как доказать, что решение всего одно, непонятно :blink: Объясните пожалуйста

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 04 июл 2011, 10:52

Ну если

должно быть целым, а не обязательно натуральным, то подходит еще $$n=-12$$

и

(как минимум, может еще что-то проглядел).
А решение примерно такое. Т.к. $$n+1$$

и

всегда разной четности, а их произведение делится на 4, то одно из этих чисел делится на 4. При этом либо оно равно 4 (или -4, если все-таки допускаются отрицательные значения), либо другое число равно 1 (или -1), иначе простого числа не получится. Получается не так много вариантов, которые можно проверить перебором. Не знаю только, что делать с такими случаями, как $$n=-4$$

, где получается число $$-3$$

- считать его простым или нет, потому что обычно простыми называют только натуральные числа, а тут $$n$$

дано как целое... здесь не очень понятно.

Traim · Сообщение **Traim** » 04 июл 2011, 16:30

Да, действительно немного странно, что n именно целое, а не натуральное, но в условии написано именно так. Я решил, что пусть n может быть отрицательным целым, но полученное число должно получиться исключительно простым положительным числом. Не знаю, могут ли отрицательные числа быть простыми, но предположу, что нет. Может кто исправит меня

В итоге у меня получилось три решения:
$$n=3$$

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 05 июл 2011, 12:29

Traim писал(а):Source of the post

Тогда и

тоже.

yourdomain.com