Найти длину дуги улитки Паскаля

Милаха

grigoriy писал(а):Source of the post
Милаха писал(а):Source of the post
да,точно)
ждём)

Так чтобы они пришли, нужно поработать. Предъявлять-то пока нечего! Ловля на пустой крючок.
Формулу длины дуги я привел в #4. Её как раз и имел в виду mihailm.
Вы теперь должны в эту формулу подставить $\rho$ - выражение для него есть,
и $d\rho$ - нужно исходное уравнение продифференцировать по $\varphi$ .
Это и будет ваша наработка, наживка для математиков.

мне найти интеграл от моего выражения?

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 22 май 2011, 07:50

Я ж сказал:

grigoriy писал(а):Source of the post
нужно исходное уравнение продифференцировать по $\varphi$ .

Найти производную от ро по фи.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 22 май 2011, 09:14

Чтобы было проще, представьте, что ро - это игрек, а фи - это икс.

КАТИ · Сообщение **КАТИ** » 22 май 2011, 09:48

grigoriy писал(а):Source of the post
Чтобы было проще, представьте, что ро - это игрек, а фи - это икс.

Милаха

КАТИ писал(а):Source of the post
grigoriy писал(а):Source of the post
Чтобы было проще, представьте, что ро - это игрек, а фи - это икс.

спасибо кати,но я думаю это не то,хотя сама бы так тоже написала)

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 22 май 2011, 10:15

Милаха писал(а):Source of the post
спасибо кати,но я думаю это не то,хотя сама бы так тоже написала)

Не сомневаюсь. У вас с КАТИ много общего! Такое ощущение, что один и тот же человек.
Да, будет там минус синус, но иксы и игреки - временные, мысленные переменные. Ваши - ро и фи.
Нужно найти выражение для производной в таком виде:

$\displaystyle \frac{d\rho}{d\varphi}=$ ?

Имейте в виду, что $\displaystyle d\rho$ и $\displaystyle {d\varphi}$ -
это не произведения, а неразделимые символы, дифференциалы.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 22 май 2011, 14:20

grigoriy писал(а):Source of the post
У вас с КАТИ много общего! Такое ощущение, что один и тот же человек.

M	У меня уверенность, что один и тот же. Осталось только выбрать, кого забанить.

A	У меня уверенность, что один и тот же. Осталось только выбрать, кого забанить.

Таланов

Гришпута, во влипли!

Таланов

Andrew58 писал(а):Source of the post
grigoriy писал(а):Source of the post
У вас с КАТИ много общего! Такое ощущение, что один и тот же человек.

M У меня уверенность, что один и тот же. Осталось только выбрать, кого забанить.
A У меня уверенность, что один и тот же. Осталось только выбрать, кого забанить.

Тут вопрос филосовский. Банить следует кого-то одного, в смысле обеих. (Или обоих. Помните у Высоцкого? "Целовался на кухне с обоими".)

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 22 май 2011, 18:58

Таланов писал(а):Source of the post
(Или обоих. Помните у Высоцкого? "Целовался на кухне с обоими".)

Или с обоями.

Решил закончить тему безотносительно к ТС. Кому-то может быть полезно.

Итак, улитка Паскаля:

$\displaystyle \rho=a\cos\varphi+b$

Элемент дуги в полярных координатах:

$\displaystyle dl=\sqrt{d\rho^2+\rho^2d\varphi^2}$

Производная:

$\displaystyle \frac{d\rho}{d\varphi}=-a\sin\varphi$

Дифференциал:

$\displaystyle d\rho=-a\sin\varphi{d\varphi}$

Т.о. элемент дуги будет иметь вид:

$\displaystyle dl=\sqrt{a^2\sin^2\varphi\,d\varphi^2+(a\cos\varphi+b)^2d\varphi^2}= \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\varphi}d\varphi$

При произвольных a и b интеграл от dl не выражается через элементарные функции
(выражается через эллиптический интеграл второго рода).

Но при a=b имеем частный случай улитки - кардиоиду.

Тогда

$\displaystyle dl=\sqrt{2a^2(1+\cos\varphi)}d\varphi=\sqrt{2a^2 2\cos^2\frac{\varphi}{2}}d\varphi=2acos\frac{\varphi}{2}}d\varphi$

Это выражение интегрируется элементарно.

P.S. В формуле ТС a=2, b=3. Возможно, при таких конкретных значениях и интегрируется
в элементарных функциях, но не знаю. Потому и написал выше - ждать математиков.

yourdomain.com