Логарифмические неравенства

shemx · Сообщение **shemx** » 16 май 2011, 15:28

1)
$5^{\log_{x}2} \cdot \log_{2}x+5^{\log_{2}x}\cdot \log_{x}2 \leq 10$
Привожу к виду:
$\frac{5^{\frac{1}{t}}t^2+5^t}{t} \leq 10$
Подбором получаю, что $$t =1$$

, ну и дальше все понятно. Вопрос в том, можно ли найти $$t$$

как-то по-другому или как доказать, что единственный корень это $$1$$

?
2)
$\log_{4}(x+5)^4\cdot\log_{16}(x+4)^2+\log_{2}\frac{(x+4)^3}{(x+5)}-3>0$
Вот мои преобразования:
$\frac{1}{16}\log_{2}(x+5)^4\cdot\log_{2}(x+4)^2+\log_{2}\frac{(x+4)^3}{(x+5)}>3$
$\log_{2}|x+5|\cdot\log_{2}|x+4|+\log_{2}(x+4)^6-\log_{2}(x+5)^2>6$
$$x+4=t$$

$\log_{2}|t+1|\cdot\log_{2}|t|+6\log_{2}|t|-2\log_{2}|t+1|>6$
Что дальше делать - не знаю.
Надеюсь на вашу помощь

СергейП

По 1-ому можно выделить полный квадрат, только отдельно рассмотреть случаи, когда логарифм > 0 и <0. Да, и начинать надо с ОДЗВо 2-ом - надо аккуратнее считать, тогда все свернется. Начинать с ОДЗ, с ее учетом никаких модулей не понадобится $\log_{4}(x+5)^4\cdot\log_{16}(x+4)^2+\log_{2}\frac{(x+4)^3}{(x+5)}-3>0$

$\frac{1}{8}\log_{2}(x+5)^4\cdot\log_{2}(x+4)^2+\log_{2}\frac{(x+4)^3}{(x+5)}>3$

$\log_{2}(x+5)\cdot\log_{2}(x+4)+3 \log_{2}(x+4)-\log_{2}(x+5) -3 >0$

$\log_{2}(x+5) (\log_{2}(x+4) - 1) +3 ( \log_{2}(x+4)- 1) >0$

$( \log_{2}(x+5) +3) (\log_{2}(x+4) - 1) >0$

shemx · Сообщение **shemx** » 16 май 2011, 21:52

А как в 1-ом выделить полный квадрат? Не могли бы вы помочь?

По 2-му: почему
$\log_{4}(x+5)^4\cdot\log_{16}(x+4)^2=\frac{1}{8}\log_{2}(x+5)^4\cdot\log_{2}(x+4)^2$ ?
Ведь
$\log_{4}(x+5)^4\cdot\log_{16}(x+4)^2=\frac{1}{2}\log_{2}(x+5)^4\cdot\frac{1}{8}\log_{2}(x+4)^2=$
$=\frac{1}{16}\log_{2}(x+5)^4\cdot\log_{2}(x+4)^2$
А тогда предложенные вами преобразования не получаются.

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 16 май 2011, 22:02

shemx · Сообщение **shemx** » 16 май 2011, 22:13

Фу, вот я туплю... А с 1-ым не поможете?)

yourdomain.com