Собственный вектор матрицы 2x2

Zion45 · Сообщение **Zion45** » 03 апр 2011, 12:59

Нужно найти собственный вектор матрицы 2x2.
$\begin{array}{|lr|} -89.1 & -237.6 \\ -237.6 & -633.6 \end{array}$

He могу сообразить как сделать, вроде все просто, но постоянно натыкаюсь на всякую глупость. Записываю системой, выражаю из первого уравнения, одно неизвестное(х1) и подставлю в другое уравнение и все сокращается хотя я надеялся таким образом выразить второе неизвестное(х2). Я понимаю что что-то делаю не так но сообразить не могу, какая-то глупая ошибка. Что я делаю не так?

venja · Сообщение **venja** » 03 апр 2011, 13:08

Найдите для начала собственные значения

Zion45 · Сообщение **Zion45** » 03 апр 2011, 13:36

Они уже найдены и подставлены. B данном случае нужно найти собственный вектор для собственного значения L=730.

mihailm · Сообщение **mihailm** » 03 апр 2011, 13:47

Zion45 писал(а):Source of the post
Они уже найдены и подставлены
...

Куда?

bot · Сообщение **bot** » 03 апр 2011, 14:06

Если число $\lambda$ найдено из уравнения $|A-\lambda E|=0$ и в этот же определительль подставлено, то он равен нулю, следовательно строки матрицы $A-\lambda E$ пропорциональны и стало быть имеем одно уравнение c двумя неизвестными для нахождения собственного вектора. Осталось разрешить вопрос "на засыпку":

какое ненулевое решение имеет уравнение $$ax+by=0$$

?

Zion45 · Сообщение **Zion45** » 03 апр 2011, 16:10

A какое из уравнений решать? Или оба?

bot · Сообщение **bot** » 03 апр 2011, 16:19

Вы читать умеете?

bot писал(а):Source of the post
... и стало быть имеем одно уравнение

Zion45 · Сообщение **Zion45** » 03 апр 2011, 16:29

Умею, имелось в виду какое одно. Насколько я понял выглядит это так:

$$-89.1x-237.6y=0$$

$y=\frac {89.1} {-237.6}= -\frac {3} {8}$
Собственный вектор:
$A= \begin{array}{|r|} 1\\ -\frac {3} {8} \end{array}$

Похоже я разобрался. A есть какая-то разница какое из неизвестных брать равным единице? И ещё не совсем ясно почему какое-то из неизвестных берут равным единице, везде принимают за единицу но не объясняют почему.

bot · Сообщение **bot** » 04 апр 2011, 02:52

везде принимают за единицу но не объясняют почему

Неправда. Всякое решение однородной системы является линейной комбинацией фундаментальной системы решений. Таким образом для описания множества решений достаточно указать ФСР. B Вашем частном случае это совсем просто щупается ручками. Возьмите произвольно $x\ne 0$ и вычислите из уравнения $$y$$

. Потом возьмите другой $$x$$

и из уравнения вычислите другой $$y$$

. Проверьте, что другой вектор окажется пропорциональным первому.
C тем же успехом в Вашем случае можно было указать $\begin{pmatrix}8\\ -3 \end{pmatrix}$ в качестве собственного вектора.

ЗЫ. Кстати, кроме $\lambda_1=730$ Ваша матрица имеет и другое собственное число $\lambda_2=7,3$ . Для него тоже есть собственный вектор. Если знать теорию, то его можно указать сразу без вычислений.

yourdomain.com