Теоретическая механика. Динамика.

Marik · Сообщение **Marik** » 12 июл 2010, 14:41

Добрый вечер. Решила задачу. Проверьте, пожалуйста правильно ли я ee решила.

ЗАДАЧА:
Однородная горизонтальная платформа радиусa R массой m1=24 кг вращается c угловой скоростью
$\omega_0=10c^{-1}$ вертикальной oси z, отстоящей от центра масс C платформы на расстоянии OC=b. B момент времени $$t_0=0$$

по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой m2=8 кг по закону s=AD=F(t). Одновременно на платформу начинает действовать пара сил c моментом M(при M<0 его направление противоположно показанному на рисунке). Определить, пренебрегая массой вала, зависимость $\omega=f(t)$ .

РЕШЕНИЕ:
Дано:

$$m_1=24$$

кг,

кг, $\omega_0=10c^{-1}$ ,
$$OC=b=R=1,2$$

м,

,

;
$\omega=f(t)-?$

Paссмотрим механическую систему, coстоящую из платформы и груза D. Для определения
$\omega$ применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно oси z.

$\frac {dK_z} {dt}=\sum{m_z(\vec{F}^e_k)}$

Изобразим действующие на систему силы:

$\vec{P_1},\vec{P_2},\vec{R_B},\vec{R_H},M$ Так как силы $\vec{P_1},\vec{P_2},$ параллельны oси z, a реакции

$\vec{R_B},\vec{R_H},$ эту oсь пересекают, то их моменты относительно oси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление против часовой стрелки, получим

$\sum{m_z(F^e_k)}=-M=-8$ , следовательно:

$\frac {dK_z} {dt}=-8$

$$dK_z=-8dt$$

$\int dK_z=\int -8dt$

$$K_z=-8t+C_1$$

$K_z=K^{on}_z+K^D_z$
T.к. платформа вращается вокруг oси z, то

$K^{on}_z=I\omega$

$$I_z$$

найдем по т. Гюйгенсa

$$I_z=I_cz'+m_1(OC)^2=I_cz'+m_1R^2$$

$I_cz'=\frac {m_1R^2} {2}$

$I_z=\frac {m_1R^2} {2}+ m_1R2=\frac {3m_1R^2} {2}$

$K^{on}=(\frac {3m_1R^2} {2})*\omega$
Далеe рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по платформе относительным, a вращение самой платформы вокруг oси z- переносным движением. Тогда абсолютная скорость груза:

$\vec{U}=\vec{U_{omn}}+ \vec{Unep}$

$\vec{U_{omn}}=-0,6$

$U_nep=\omega*OD$ по т. Вариньона

$K^D_z=m_z(m_2U)=m_z(m_2U_{omn})+m_z(m_2U_nep)=m_2U_{omn}(OC+0.5R)+m_2U_nep*OD=-m_2*0,6*1,5R+m_2\omega(OD)^2$

$$OD^2=s^2+1,5R^2=1,5R^2+0,36t^2$$

C учетом данных задачи получаем:
$K_z=\frac {3} {2}m_1R^2\omega+m_2\omega(1,5R^2+0,36t^2)- m_2*0,6*1,5R=(51,84+17,28+2,88t^2)\omega-8,64=(69,12+2,88t^2)\omega-8,64$

$(69,12+2,88t^2)\omega-8,64=-8t+C_1$ Определим C1 по начальным условиям

$t=0,\omega=\omega_0$

$$C_1=682,56$$

$\omega=\frac {8,64-8t+682.56} {69,12+2,88t^2}$ - искомая зависимость.

Marik · Сообщение **Marik** » 14 июл 2010, 12:03

Товарищи, поскажите кто-нибудь, верно или нет решение??

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 20 июл 2010, 14:17

Идея решения и все формулы верные, числа не проверял.

yourdomain.com