Разложить функцию в ряд Фурье.

Наума · Сообщение **Наума** » 18 апр 2009, 20:59

da67 писал(а):Source of the post
Она тем более не чётная.
Получилось почти правильно. K полученному ряду надо добавить $\pi/2$ .

Что-то я не поняла. B учебнике сказано, что если функция четная, то раскладываем ряд по косинусам; если функция нечетная - по синусам. Сначала я пробовала разложить исходную функцию по основной формуле тригонометрического ряда, но не сошлось c ответом. Затем я пробовала разложить функцию, исходя из условий четности и нечетности функции. Ответ сошелся только тогда, когда я предположила, что функция нечетная и разложила по синусам. Там написан ответ $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {sin(nx)}{n}}$ . Чем это объясняется?

da67 · Сообщение **da67** » 19 апр 2009, 03:41

Наума писал(а):Source of the post B учебнике сказано, что если функция четная, то раскладываем ряд по косинусам; если функция нечетная - по синусам.

A если и не та, и не другая (как здесь), то что там написано?

Ответ сошелся только тогда, когда я предположила, что функция нечетная и разложила по синусам.

Это называется подгон. Задачу без ответа как будем решать?
Ответ, кстати не сошёлся, одного члена не хватает.

Чем это объясняется?

Функция станет нечётной, если из неё вычесть $\pi/2$ .

Либо вы решали вообще другую задачу. Вместо

Наума писал(а):Source of the post Разложить функцию $f(x)=\frac {\pi-x}{2}$ в ряд Фурье на промежутке $(-\pi, \pi)$ .

решалось

Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке $(0,\pi)$ формулой $f(x)=\frac {\pi-x}{2}$ и продолженную нечётным образом на промежуток $(-\pi, \pi)$ .

Тогда всё правильно.

Наума · Сообщение **Наума** » 19 апр 2009, 04:12

A если и не та, и не другая (как здесь), то что там написано?

Вот именно, ничего! Я, сначала, решала по общей формуле $\frac {a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_ncos(nx)+b_nsin(nx).}$

Искала все коэффициенты. У меня получился коэффициент $a_0=\pi$ , $$b_n=0$$

.
Потом, намучавшись, я все-таки посмотрела в ответ - не сошелся. Естественно, надо было искать решение. Поэтому я прибегла к одному из таких, который изначально описала.

Это называется подгон. Задачу без ответа как будем решать?

Это называется "хорошее" объяснение темы в учебнике и безысходность занимающегося по нему. Это пока разбор "полетов"))).

da67 · Сообщение **da67** » 19 апр 2009, 04:28

Наума писал(а):Source of the post Я, сначала, решала по общей формуле $\frac {a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_ncos(nx)+b_nsin(nx).}$
Искала все коэффициенты. У меня получился коэффициент $a_0=\pi$ , .

Это правильно.

Потом, намучавшись, я все-таки посмотрела в ответ - не сошелся.

Скорее всего это означает, что неправильно понято условие задачи (см. выше).

Наума · Сообщение **Наума** » 19 апр 2009, 05:19

da67 писал(а):Source of the post
Наума писал(а):Source of the post Я, сначала, решала по общей формуле $\frac {a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_ncos(nx)+b_nsin(nx).}$
Искала все коэффициенты. У меня получился коэффициент $a_0=\pi$ , .
Это правильно.
Потом, намучавшись, я все-таки посмотрела в ответ - не сошелся.
Скорее всего это означает, что неправильно понято условие задачи (см. выше).

У меня получились все коэффициенты нулевые за исключением $a_0=\pi$ . Значит ответ $\pi/2$ ?

Наума · Сообщение **Наума** » 19 апр 2009, 05:35

A если по признаку Даламбера предел отношения ряда $U_{n+1}$ и ряда $$U_n$$

равен единице, то так и писать, что ряд может сходиться и расходиться (признак Даламбера ответа не дает)? Например в случае при исследовании на сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {n!}{n^n}}$ , где $U_n=\frac {n!}{n^n}$ .

Наума · Сообщение **Наума** » 19 апр 2009, 21:41

da67 писал(а):Source of the post
Наума писал(а):Source of the post Я, сначала, решала по общей формуле $\frac {a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_ncos(nx)+b_nsin(nx).}$
Искала все коэффициенты. У меня получился коэффициент $a_0=\pi$ , .
Это правильно.
Потом, намучавшись, я все-таки посмотрела в ответ - не сошелся.
Скорее всего это означает, что неправильно понято условие задачи (см. выше).

Разложить функцию $f(x)=\frac {\pi-x}{2}$ в ряд Фурье на промежутке $(-\pi, \pi)$ .
Раскладываем по формуле $\frac {a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_ncos(nx)+b_nsin(nx).}$
Вычисляем коэффициенты:
$a_0=\frac {1}{\pi}\int _{-\pi}^{\pi}\frac {\pi-x}{2}dx=\pi$ ;

$a_n=\frac {1}{\pi}\int _{-\pi}^{\pi}\frac {\pi -x}{2}cos(nx)dx=\frac {1}{2}\int _{-\pi}^{\pi}cos(nx)dx - \frac {1}{2\pi}\int _{-\pi}^{\pi}xcos(nx)dx= \frac {1}{2n}sin(nx) \int^{\pi}_{-\pi}-\frac {x}{2\pi n}sin(nx)\int ^{\pi}_{-\pi}-\frac {1}{2\pi n^2}cos(nx)dx\int _{-\pi}^{\pi}=0$ ;

$b_n=\frac {1}{\pi}\int _{-\pi}^{\pi}\frac {\pi -x}{2}sin(nx)dx=\frac {1}{2}\int _{-\pi}^{\pi}sin(nx)dx - \frac {1}{2\pi}\int _{-\pi}^{\pi}xsin(nx)dx=-\frac {1}{2n}cos(nx)\int_{-\pi}^{\pi} +\frac {x}{2\pi n}cos(nx)\int_{-\pi}^{\pi} - \frac {1}{2\pi n^2}sin(nx)\int_{-\pi}^{\pi}=0$ .

Ряд исходной функции выглядит $\pi/2$ ?

da67 · Сообщение **da67** » 24 апр 2009, 14:52

da67 писал(а):Source of the post
Наума писал(а):Source of the post Я, сначала, решала по общей формуле $\frac {a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_ncos(nx)+b_nsin(nx).}$
Искала все коэффициенты. У меня получился коэффициент $a_0=\pi$ , .
Это правильно.

Тут я ошибся. Должно быть $a_0=\pi$ , $$a_n=0$$

, $b_n\ne0$

Наума писал(а):Source of the post $b_n=...=-\frac {1}{2n}\cos(nx)|_{-\pi}^{\pi} +\frac {x}{2\pi n}\cos(nx)|_{-\pi}^{\pi} - \frac {1}{2\pi n^2}\sin(nx)|_{-\pi}^{\pi}=0$ .

Тут что-то не так.

Наума · Сообщение **Наума** » 24 апр 2009, 14:54

da67 писал(а):Source of the post
da67 писал(а):Source of the post
Наума писал(а):Source of the post Я, сначала, решала по общей формуле $\frac {a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_ncos(nx)+b_nsin(nx).}$
Искала все коэффициенты. У меня получился коэффициент $a_0=\pi$ , .
Это правильно.
Тут я ошибся. Должно быть $a_0=\pi$ , , $b_n\ne0$

Наума писал(а):Source of the post $b_n=...=-\frac {1}{2n}\cos(nx)|_{-\pi}^{\pi} +\frac {x}{2\pi n}\cos(nx)|_{-\pi}^{\pi} - \frac {1}{2\pi n^2}\sin(nx)|_{-\pi}^{\pi}=0$ .
Тут что-то не так.

Спасибо Вам, Mipter, я уже разобралась в разделе "математика":)

shreg · Сообщение **shreg** » 29 июн 2010, 17:49

Вот онлайн калькулятор который разложит функцию в ряд Фурье allcalc ru/node/63

yourdomain.com