Помогите решить задачу(Найти емкость конденсатора)

Corleone · Сообщение **Corleone** » 14 дек 2014, 11:39

Диэлектрическая проницаемость среды между пластинами плоского конденсатора равномерно меняется от ?=3 до ?=7. Площадь каждой пластины S=200 см?, расстояние между пластинами d=1 см. Определить емкость С конденсатора.
Задача вроде как не очень сложная и делается скорей всего по формуле С=??(нулевое) S/d. Но я не могу понять как это диэлектрическая проницаемость "равномерно меняется" и что нужно подставлять в формулу? Подскажите, пожалуйста)

zam2 · Сообщение **zam2** » 14 дек 2014, 12:28

Corleone писал(а):Source of the post Но я не могу понять как это диэлектрическая проницаемость "равномерно меняется"

Ну это значит, что рядом с одной пластиной она маленькая, а рядом с другой - большая. Если диэлектрическая проницаемость непостоянна, то по-уму надо считать интеграл от этой проницаемости по расстоянию между пластинами. Но, так как сказано, что меняется равномерно, можно просто взять среднее арифметическое между крайними значениями, то есть 5.

SFResid · Сообщение **SFResid** » 15 дек 2014, 06:41

Строго говоря, надо взять ? = (7 - 3)/LN(7/3) = 4.72 (впрочем, довольно близко к 5)

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 15 дек 2014, 11:59

В этом решении не вполне очевидна замена $\displaystyle \frac{1}{C}$ на интеграл.
Более универсальный и физически "прозрачный" метод - подсчитать напряженность электрического поля в этом хитром конденсаторе и проинтегрировать. Полученную разность потенциалов использовать в формуле $$q=CU$$

. Результат, естественно, будет таким же.

zam2 · Сообщение **zam2** » 15 дек 2014, 12:08

zam2 писал(а):Source of the post можно просто взять среднее арифметическое между крайними значениями, то есть 5.

Был не прав. Работа над ошибками. Дано: $\varepsilon (0)=3,\varepsilon (d)=7,S=200sm^2,d=1sm.$
$C=\frac{1}{\left ( \frac{1}{C} \right )}=\frac{1}{\int_{0}^{d} \frac{dx}{\varepsilon (s)\varepsilon _0S}}=\frac{\varepsilon _0S}{\int_{0}^{d}\frac{dx}{\varepsilon (x)}}$
$\varepsilon (x)=\varepsilon (0)+\frac{\varepsilon (d)-\varepsilon (0)}{d}x$
$\\ \int_{0}^{d}\frac{dx}{\varepsilon (x)}=\int_{0}^{d}\frac{dx}{\varepsilon (0)+\frac{\varepsilon (d)-\varepsilon (0)}{d}x}=\left [ \frac{d}{\varepsilon (d)-\varepsilon (0)}ln\left ( \varepsilon (0)+\frac{\varepsilon (d)-\varepsilon (0)}{d}x \right ) \right ]_{0}^{d}=\\ =\frac{d}{\varepsilon (d)-\varepsilon (0)}ln\frac{\varepsilon (d)}{\varepsilon (0)}$
$\\C=\frac{\varepsilon _0 S}{\frac{d}{\varepsilon (d)-\varepsilon (0)}ln\frac{\varepsilon (d)}{\varepsilon (0)}}}=\frac{\varepsilon (d)-\varepsilon (0)}{ln\frac{\varepsilon (d)}{\varepsilon (0)}}\varepsilon _0\frac{S}{d}$
У SFResid совершенно верно.

src=

zam2 · Сообщение **zam2** » 15 дек 2014, 12:17

Andrew58 писал(а):Source of the post В этом решении не вполне очевидна замена $\frac{1}{C}$ на интеграл.

Я, собственно, и рассчитывал на того, кто "в теме".
Замена основана на том, что для последовательного соединения конденсаторов $\frac{1}{C_\Sigma }=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots +\frac{1}{C_N}$ , которая как раз и втаскивает теорию ЭМ-поля в электротехнику.

yourdomain.com