Задача "из жизнии" № 3

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 29 апр 2013, 16:04

Это в связи с темой [url=http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=41502]http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=41502[/url]

Пксть имеем 3 - полюсник из активных сопротивлений.
На его контактах 3 напряжения и 3 тока: $U_{i}, I_{i}$
Можем считать, что $$U_3=0$$

- заземлён и очевидно $$I_3=-(I_1+I_2)$$

Поскольку схема линейная:
$I_1=a_{11} U_1+a_{12} U_2$
$I_2=a_{21} U_1+a_{22} U_2$

На $a_{ij}$ единственное ограничение:
$a_{ii}\geq 0$
$a_{12},a_{21}\leq 0$
в остальном они произвольны.

Требуется нарисовать простейшую эквивалентную схему этого 3 - полюсника. Схема, которую можно преобразвать к звезде или 3-ку очевидно не годится - там лишь 3 произвольных константы. а надо - минимум 4.

guryev · Сообщение **guryev** » 29 апр 2013, 19:21

ALEX165 писал(а):Source of the post
Пксть имеем 3 - полюсник из активных сопротивлений.
...
$I_1=a_{11} U_1+a_{12} U_2$
$I_2=a_{21} U_1+a_{22} U_2$

Тогда $a_{12}=a_{21}$

da67 · Сообщение **da67** » 30 апр 2013, 19:32

Посмотритеэту тему.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 01 май 2013, 10:39

da67 писал(а):Source of the post
Посмотритеэту тему.

Ок, Ваше доказательство прочитал. Только вот это место в нём остаётся непонятным:

3. Малая матрица сопротивлений (для выводов) получается вычёркиванием из большой матрицы сопротивлений строк и столбцов, соответствующих "лишним" узлам, т.к. ток в них равен нулю, a напряжение нас не интересует. Очевидно, что после такого вычёркивания матрица остаётся симметричной.

После вычёркивания строк, соответствующим токам, остаётся неквадратная матрица, в которой остаются столбцы, соответствующие ненулевым напряжениям во внутренних узлах. А если эти столбцы вычеркнуть, то оставшаяся матрица для токов не будет соответсвовать действительной зависимости токов от напряжений, то есть матрица: входные токи - входные напряжения и эта оставшаяся - разные матрицы.

Честно говоря, не знал, что она симметрична, хотя подозрения были . Но задача не меняется, я её до предела упростил - до 3 - полюсника, но она остаётся для N- полюсника, он точно не представим в виде звезды или многоугольника.

da67 · Сообщение **da67** » 01 май 2013, 18:17

ALEX165 писал(а):Source of the post После вычёркивания строк, соответствующим токам, остаётся неквадратная матрица, в которой остаются столбцы, соответствующие ненулевым напряжениям во внутренних узлах.

Наоборот: строки соответствуют напряжениям, а столбцы токам.
Вы пишите про матрицу проводимостей, а там речь идёт о матрице сопротивлений. Специально ради этого и перешли к обратной.
Т.е. обсуждается матрица, которую нужно умножить на столбец токов, чтобы получить столбец напряжений. При умножении целый столбец будет помножен на ноль (ток в неподключённом узле) и его можно выкинуть. Заодно выкинем и строку, лишив себя возможности найти ненужное нам напряжение в неинтересном узле.

А то, что четырёхполюсник -- не звезда, и так понятно.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 01 май 2013, 18:24

То есть вот к доказательству.
Допустим по всем узлам (их N) зависимость токов от напряжений: $I_i=\sum_{j} a_{ij}U_j$
Пусть первые k узлов - входные клеммы, тогда после вычёркивания строк:
$I_i=\sum\limits_{j=1}^{k} a_{ij} U_j+\sum\limits_{j=k+1}^{N} a_{ij} U_j (U_1,U_2, ...,U_k)$
Вторая-то сумма не обязательно равна 0 и первая - не одно и то же, что:
$I_i=\sum\limits_{j=1}^{k} a_{ij} U_j$ для действительной зависимости входных токов от вх. напряжений.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 01 май 2013, 18:37

Прочитал #5, #6 писал, пока вы писали #5.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 04 май 2013, 09:46

Ладно, симметрия это хорошо, но суть задачи не о ней.
Для 3 - полюсника достаточно 3 констант чтобы создать цепь, эквивалентную дюбой, а для N- полюсника сколько констант мин. достаточно? Например для 4 - полюсника нужно 7 или 10?

yourdomain.com