yourdomain.com

Уважаемые форумчане, нужна помощь!
Вот. Точка в центрально-симметричном поле, ее энергия в этом поле V( r ). Пишем Лагранжиан
$L=\dfrac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta}^2)-V(r).~~P_\theta=Const=mr^2 \dot{\theta}~~=> L=\dfrac{m}{2}\dot{r}^2+\dfrac{P_\theta ^2}{2mr^2}-V(r)$ . Теперь допустим, что у какой-то другой точки, которая находится так же в неком поле, такой же лагранжиан, ее потенциальная энергия равна $-\dfrac{P_\theta ^2}{2mr^2}+V(r)$ . r-обычная координата в инерциальной системе. Т.к. оба лагранжиана равны, то и зависимость r(t) должна быть у обоих одинакова. Пусть $V(r)=-\dfrac{\alpha}{r}$ . Посмотрев на график потенциальной эн. второй точки, я понимаю, что зависимость r(t) все-таки разная у обоих точек. А где что не так?

4 8 15... писал(а):Source of the post
Т.к. оба лагранжиана равны, то и зависимость r(t) должна быть у обоих одинакова.

Не вникая во всё остальное - это, очевидно, неверно.
Даже у одной и той же системы со своим единственным лагранжианом может быть бесконечно много различных зависимостей r(t).

ALEX165 писал(а):Source of the post
Не вникая во всё остальное - это, очевидно, неверно.
Даже у одной и той же системы со своим единственным лагранжианом может быть бесконечно много различных зависимостей r(t).

Да, спасибо. вот что-то такое я и ожидал. но то что бескон. много зависимостей r(t) у одной системы, и так понятно. всему причина - разные н.у.. а вот если в моей задаче начальные условия для обоих точек одинаковы: $r_1(0)=r_2(0), \dot{r}_1(0)=\dot{r}_2(0)$ , то все-таки разные зависимости?

4 8 15... писал(а):Source of the post
а вот если в моей задаче начальные условия для обоих точек одинаковы: $r_1(0)=r_2(0), \dot{r}_1(0)=\dot{r}_2(0)$ , то все-таки разные зависимости?

Если начальные условия одинаковые и лагранжианы одинаковые, то и r(t) будут идентичными, как пить дать!

ALEX165 писал(а):Source of the post
Если начальные условия одинаковые и лагранжианы одинаковые, то и r(t) будут идентичными, как пить дать!

Тогда по движению второго шарика можно судить о движении первого. Тогда судя по потенциальной энергии второго первый,который вертится в плоскости в центрально-симметричном поле всегда должен падать на центр по спирали - но это же не так

4 8 15... писал(а):Source of the post $P_\theta=Const=mr^2 \dot{\theta}~~=> L=\dfrac{m}{2}\dot{r}^2+\dfrac{P_\theta ^2}{2mr^2}-V(r).$

Ошибка в =>. Нельзя выражать скорости в лагранжиане, пользуясь законами сохранения. Сначала напишите уравнение Лагранжа для $$r$$

, а уж в нем исключайте скорость $\dot\phi$ --- получится правильно.

peregoudov писал(а):Source of the post
4 8 15... писал(а):Source of the post $P_\theta=Const=mr^2 \dot{\theta}~~=> L=\dfrac{m}{2}\dot{r}^2+\dfrac{P_\theta ^2}{2mr^2}-V(r).$
Ошибка в =>. Нельзя выражать скорости в лагранжиане, пользуясь законами сохранения. Сначала напишите уравнение Лагранжа для , а уж в нем исключайте скорость $\dot\phi$ --- получится правильно.

О, спасибо! Так получается, что брать действие от такого "покалеченного" лагранжиана и искать траектории для реализации минимума уже не то... Теперь есть над чем хоть подумать

Именно так. Нужно написать уравнение движения, исключить скорость с помощью закона сохранения, а потом восстановить по уравнению движения "редуцированный" лагранжиан.

yourdomain.com

опять класс. мех.

опять класс. мех.

опять класс. мех.

опять класс. мех.

опять класс. мех.

опять класс. мех.

опять класс. мех.

опять класс. мех.

опять класс. мех.