yourdomain.com

4.Стеклянный полушар с радиусом R, массой m и коэффициентом преломления n, помещен над направленным вертикально вверх лазерным лучом с малой площадью сечения S, ось этого луча совпадает с осью симметрии полушара. Определите, какой должна быть мощность излучения N, чтобы полушар удерживался в воздухе?
8.Дан правильный многогранник с числом граней K (число ребер у
грани – N, длина ребра равна a . Поверхность многогранника
заряжена с постоянной поверхностной плотностью заряда V. Найти
силу F, действующую на одну грань со стороны остальных.
Интересуют две эти задачи, так как давно не смог их решить, а только сейчас вспомнил.

4. По этой задаче есть такая мысль
Шар удерживается в воздухе засчет импульса, передаваемого ему со стороны отраженных фотонов. Следовательно, если мы знаем коэффициент отражения k, то общее количество отраженных фотонов от внутренней и от внешней границы будет приблизительно равно $$(2k-k^2)n$$

(не считая переотражений).
Тогда импульс, полученный полушаром, будет равен $4 \cdot (2k-k^2)n \cdot h \nu /c$ .
Силу, воздействующую на шар со стороны луча, определим как отношение импульса ко времени, за которое этот импульс был передан. А также заметим, что $n \cdot h \nu$ - это энергия луча, которая при делении на время дает мощность излучения.
$4 \cdot (2k-k^2) N/c = mg$
Осталось найти k для нашего шара.

Отражение - раз.
Преломление - два.
При выходе фотона (плоскость снизу) через сферическую поверхность он отклонится
и уменьшится вертикальная составляющая импульса.
При расчете отклонения синусы можно заменять на углы или тангенсы за счет малости S.
Потребуется проинтегрировать по кольцевым зонам сечения S.

Doberman писал(а):Source of the post 8.Дан правильный многогранник с числом граней K (число ребер у
грани – N, длина ребра равна a . Поверхность многогранника
заряжена с постоянной поверхностной плотностью заряда V. Найти
силу F, действующую на одну грань со стороны остальных.
Интересуют две эти задачи, так как давно не смог их решить, а только сейчас вспомнил.

В задаче придется использовать, что существуют всего 5 правильных многогранников (платоновых тел),это есть даже в учебнике Киселева по геометрии:
Название ...K......N....... $\frac ah$ , $$h$$

-радиус вписанного шара
Тетраэдр...4.......3...... $2\sqrt 6$
Куб............6........4...... $$2$$

Октаэдр....8........3..... $\sqrt 2(1+\sqrt 3)$
Додекаэдр.12.......5..... $$<1$$

Икосаэдр....20.......3...... $$<<1$$

последние 2 дроби не считал, но уже написанное лишает надежды выразить эти дроби через N и K в общем виде. Задание заочное, и значит включает в себя несколько страниц исследования по стереометрии.
Площадь грани $S=N\frac{a^2}4\ctg\frac{\pi}n$
Пользуясь гармоничностью трехмерного $\frac 1{|\vec r|}$ (а школьнику чем?) и всякой симметрией, заменим грань на точечный заряд $$VS$$

на расстоянии $$h$$

от центра, а объединение остальных $$K-1$$

граней на точечный заряд $$(K-1)VS$$

на расстоянии $\frac h{K-1}$ от центра в противоположную сторону и считаем $$F$$

по формуле для точечных зарядов на расстоянии $r=h\frac{K}{K-1}$ . Туда и войдет эта дробь из таблицы, в квадрате. И ответ придется давать раздельный для 5 случаев.

grigoriy писал(а):Source of the post
При расчете отклонения синусы можно заменять на углы или тангенсы за счет малости S.

Собственно, это излишне. Изобретение велосипеда. Участок сферы в пределах светового пучка
можно рассматривать как тонкую плоско-выпуклую линзу с фокусным расстоянием F=R/n.

PacMan писал(а):Source of the post
Осталось найти k для нашего шара.

$\displaystyle k=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^2$

Если ещё помелочиться, то отражение от внутренней поверхности нужно рассматривать
как отражение от сферического зеркала с фокусным расстоянием F=R/2.

Ian писал(а):Source of the post
(а школьнику чем?)

А школьная ли олимпиада? Что такое ФФКЭ?

grigoriy писал(а):Source of the post
Что такое ФФКЭ?

Факультет физической и квантовой электроники

Doberman, у вас что-нибудь получилось?
Учет преломления сводится к нахождению двух элементарных интегралов от выражений типа
$$xdx$$

и $\frac{dx}{\sqrt{x}}$ .
Больше достает учет целого роя мелочевки, липнущей к выражениям как мухи к меду.

Весточка от физика, забаненного ботаником.

8.Дан правильный многогранник с числом граней K (число ребер у
грани – N, длина ребра равна a . Поверхность многогранника
заряжена с постоянной поверхностной плотностью заряда V. Найти
силу F, действующую на одну грань со стороны остальных.[/quote] По теореме Гаусса:
$\int\limits_S \vec E\vec n ds=\frac{Q}{\epsilon_0}$ ,
где: S - вся поверхность многогранника, $\vec n$ - единичный вектор нормали грани, Q - полный заряд многогранника.
Поскольку, в силу симметрии, поле на всех гранях одинаково, то:
$\int\limits_S \vec E\vec n ds=N\int\limits_g \vec E\vec n ds$
g - площадь одной грани, по ней интегрируем, N - число граней.
Таким образом:
$\int\limits_g \vec E\vec n ds=\frac{Q}{N\epsilon_0}$
С другой стороны, сила, действующая на грань, опять же в силу симметрии, нормальна к ней и следовательно её можно записать в виде:
$F=\int\limits_g \vec E\vec n\sigma ds=\sigma\int\limits_S \vec E\vec n ds$ ,
$\sigma=\frac{Q}{S}$ - поверх. плотн. заряда.
таким образом:
$F=\frac{\sigma Q}{N\epsilon_0}=\frac{\sigma^2}{\epsilon_0}g$ ,
g - площадь грани.
Значит для тетраэдра, октаэдра и икосаэдра:
$F=\frac{\sigma^2}{\epsilon_0}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ ,
для куба:
$F=\frac{\sigma^2}{\epsilon_0}a^2$ ,
для додекаэдра:
$F=\frac{\sigma^2}{\epsilon_0}\frac{5a^2}{4}ctg(\frac{\pi}{5})$ ,
этот котангенс вообще через $\sqrt{5}$ выражается.

yourdomain.com

заочная олимпиада ФФКЭ

заочная олимпиада ФФКЭ

заочная олимпиада ФФКЭ

заочная олимпиада ФФКЭ

заочная олимпиада ФФКЭ

заочная олимпиада ФФКЭ

заочная олимпиада ФФКЭ

заочная олимпиада ФФКЭ

заочная олимпиада ФФКЭ

заочная олимпиада ФФКЭ

заочная олимпиада ФФКЭ