Страница 1 из 3
угловая скорость стержня
Добавлено: 27 июл 2011, 10:48
uxx
Здравствуйте. Есть вот такая механическая схема
Необходимо выразить угловую скорость движения стержня через
,
и их производные.
Положение некоторой точки на стержне можно задать вектором:
скорость этой точки:
угловая скорость:
но из последнего отношения вектор
выразить нельзя. Как быть?
угловая скорость стержня
Добавлено: 27 июл 2011, 13:04
uxx
Из рисунка видно, что в неподвижной СК (обозначена
) угловая скорость будет равна:
.
Если подставить это выражение в формулу
, то всё сходится. Но мне не понятно - как математически получить выражение для
?
угловая скорость стержня
Добавлено: 27 июл 2011, 13:16
Wild Bill
Последнее уравнение можно расписать в компонентах, обозначив
, и решив получившуюся систему трёх уравнений относительно
.
угловая скорость стержня
Добавлено: 27 июл 2011, 13:25
uxx
Wild Bill система получается вырожденной. Векторное произведение:
Видно, что матрица
вырождена. В принципе, это и так ясно - есть бесконечно много комбинаций
дающих в результате
. Так что только этого уравнения для нахождения угловой скорости, очевидно, не достаточно.
угловая скорость стержня
Добавлено: 27 июл 2011, 13:31
Wild Bill
А зачем Вы так? Я думаю, можно проще
Только проверьте знаки в раскрытии векторного произведения, от балды ставил.
угловая скорость стержня
Добавлено: 27 июл 2011, 13:33
uxx
Wild Bill писал(а):Source of the post А зачем Вы так? Я думаю, можно проще
Только проверьте знаки в раскрытии векторного произведения, от балды ставил.
Система всё-равно получается вырожденной - без разницы как решать. Знак, кстати, у второй компоненты неверен. Проверьте.
============================================================================
Можно найти угловую скорость вращения стержня, задав его ориентацию кватернионом. Кватернион легко записывается при известных
и
:
и вектор угловой скорости можно найти как:
. Результат, как и полагается, получается тем же самым.
угловая скорость стержня
Добавлено: 27 июл 2011, 13:50
Wild Bill
Да, конечно, систему будет вырожденной, так как у неё только две степени свободы. Значит одна компонента омеги выражается через две других.
угловая скорость стержня
Добавлено: 27 июл 2011, 13:53
uxx
Wild Bill писал(а):Source of the post Да, конечно, систему будет вырожденной, так как у неё только две степени свободы. Значит одна компонента омеги выражается через две других.
Про какое условия я забываю? Угловая скорость ведь должна определяться однозначно (так и получается при решении другими способами).
Ещё один вопрос. Я не совсем понимаю термин: угловая скорость в собственной системе координат. Формально всё понятно: нашли угловую скорость в неподвижной, выполнили преобразование из неподвижной в собственную - получили скорость в собственной. Но можно ли из самой механической схемы, из рисунка, определить угловую скорость в собственной СК? По определению
. В какой СК задан
, в той же получим и
. В моём случае я получаю
, а на самом деле рассчёты дают
угловая скорость стержня
Добавлено: 27 июл 2011, 14:40
Wild Bill
Я тупо загнал систему в Mathematica и получил решение:
,
там получилось ещё два решения для {w1, w3} и {w2, w3}. То есть решение у системы имеется, но только при некоторых дополнительных условиях. Наиболее интересное решение
Собственная СК, как мне кажется, та, в которой нет поступательного движения.
угловая скорость стержня
Добавлено: 27 июл 2011, 14:51
uxx
Нет. Собственная СК - та, котрая привязана к телу и вращается вместе с ним. Поступательное движение в данной задаче я вообще не рассматриваю.