Задача магнитостатики

persalena · Сообщение **persalena** » 07 июн 2011, 17:05

Доброго времени суток! Хочу попросить помощи в решении следующей задачи:

Здесь на картинке показано сечение в плоскости ХУ трехмерной задачи. Черные точки - линейные источники. Вытянуты вдоль оси z.

Задача имеет вид:

$-\Delta A_z = J_z$

Где А - вектор-потенциал.
Jz - 4 линии с током

Нужно найти решение задачи в красной точке. Т.е А = ...
Краевые условия - первые удаленные нулевые.

В одной книге вычитала, что в таком случае можно перейти к уравнению

$-div(\frac {1} {\mu} gradA_z) = J_z$

И что с этим делать? Как учесть, что источника четыре?

student_kiev

persalena, сформулируйте задачу яснее.

persalena писал(а):Source of the post Черные точки - линейные источники. Вытянуты вдоль оси z.

имеется ввиду четыре прямолинейных бесконечных тока вдоль оси $$z$$

? Какой ток несет каждый из них? Как они расположены друг относительно друга? На каком расстоянии от проводов находится красная точка?

Я покажу как делать для одного прямолинейного бесконечного провода, простирающегося вдоль оси $$z$$

и несущего ток $$I$$

. Поле такого провода известно:
$\displaystyle \mathbf{B}(s)= \frac{\mu_0 I}{2 \pi s} \hat{\mathbf{\varphi}}$
я использую цилиндрические координаты $s, \varphi, z$ , $$s$$

--- расстояние от провода. Шляпки над векторами обозначают единичные вектора вдоль соответствующих направлений.
Задача по сути шиворот-навыворот: зная $\mathbf{B}$ найти $\mathbf{A}$ . К сожалению, прямым решением уравнения
$\Delta \mathbf{A} = - \mu_0 \mathbf{J}$
в виде
$\displaystyle \mathbf{A(r)} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{ \mathbf{J(r')}}{|\mathbf{r-r'}|}dV'$ ,
пользоваться нельзя, поскольку токи простираются до бесконечности. Поэтому нужно поступать хитрее. А именно, нужно вспомнить/прочитать/осознать, что $\mathbf{A}$ "повторяет" поведение тока. В случае прямолинейного тока он просто сонаправлен с ним (попробуйте сами понять почему). Поэтому,
$\mathbf{A} = A(s) \hat{\mathbf{z}}$
$\displaystyle \mathbf{B}= \nabla \times \mathbf{A} = -\frac{\partial A}{\partial s} \hat{\mathbf{\varphi}} \equiv \frac{\mu_0 I}{2 \pi s} \hat{\mathbf{\varphi}}$ ,
откуда
$\displaystyle \mathbf{A(r)} = -\frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln (s/a)$ ,
где $$a$$

--- произвольная постоянная.

Кстати, полезно этот результат проверить через $\nabla \cdot \mathbf{A} =0,~\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}}$

ptrma · Сообщение **ptrma** » 07 июн 2011, 20:48

Все правильно, только про магнитное поле не спрашивалось. А для четырех токов надо их вклады сложить в нужной точке с правильными расстояниями. Причем произвольная константа будет одинакова для все четырех, но я уже засыпаю чтобы это уточнить.
В целом эта задача аналогична задаче о бесконечно заряженной нити в электростатике. Там тоже проблема с этой константой. Она определяется путем выбора потенциала потем задания его величины на лини отстоящей на "а" от нити.

student_kiev

ptrma писал(а):Source of the post Все правильно

давышто.

ptrma писал(а):Source of the post А для четырех токов надо их вклады сложить в нужной точке с правильными расстояниями. Причем произвольная константа будет одинакова для все четырех.

дайте возможность ТС самому что-то сделать. Я этого не писал специально.

ptrma · Сообщение **ptrma** » 07 июн 2011, 20:59

student_kiev писал(а):Source of the post
ptrma писал(а):Source of the post Все правильно
давышто.
ptrma писал(а):Source of the post А для четырех токов надо их вклады сложить в нужной точке с правильными расстояниями. Причем произвольная константа будет одинакова для все четырех.
дайте возможность ТС самому что-то сделать. Я этого не писал специально.

Не получается котролировать полноту ответов, пойду спать а в следующий раз исправлюсь.

persalena · Сообщение **persalena** » 08 июн 2011, 05:32

Cпасибо большое, про бесконечную удаленность проводников в задаче ничего не сказано, но ,наверное, так и есть. Про сумму вкладов, это понятно, я так и думала.

А почему нельзя пользоваться формулой, не понятно... Я думала, что раз дано все в сечении, то источники можно считать точечными и тогда для такого уравнения есть аналитическое решение
$\frac {1} {4\pi r}$
Сложить 4 таких штуки с разными r и все..

И еще у меня вопрос, если я не права(что вероятнее), то что есть s в А(s)?

ptrma · Сообщение **ptrma** » 08 июн 2011, 06:07

persalena писал(а):Source of the post
Cпасибо большое, про бесконечную удаленность проводников в задаче ничего не сказано, но ,наверное, так и есть. Про сумму вкладов, это понятно, я так и думала.

А почему нельзя пользоваться формулой, не понятно... Я думала, что раз дано все в сечении, то источники можно считать точечными и тогда для такого уравнения есть аналитическое решение
$\frac {1} {4\pi r}$
Сложить 4 таких штуки с разными r и все..

И еще у меня вопрос, если я не права(что вероятнее), то что есть s в А(s)?

Так как у вас дано сечение и сказано что "... линейные источники. Вытянуты вдоль оси z...", то я и предположил что проводники имеют бесконечную протяженность.

Вы правильно думали про точечные источники, но это только в сечении, а сечение делает вашу задачу двуxмерной. Приведенное же вами решение справедливо для трехмерной задачи.

Найдите решение двухмерной задачи и тогда вы поймете что такое s в A(s).

persalena · Сообщение **persalena** » 08 июн 2011, 06:20

Спасибо! Но, мне и нужно решение для трехмерной задачи. Приношу извинения, если неправильно поставила вопрос. Но двумерный случай тоже довольно интересен, попробую решить. Еще раз спасибо!

ptrma · Сообщение **ptrma** » 08 июн 2011, 06:41

persalena писал(а):Source of the post
Спасибо! Но, мне и нужно решение для трехмерной задачи. Приношу извинения, если неправильно поставила вопрос. Но двумерный случай тоже довольно интересен, попробую решить. Еще раз спасибо!

Вопрос вы поставили правильно. Просто вам нужно подумать над решение вашей трехмерной задачи и использовать всю имеющую у вас на данный момент информацию.

yourdomain.com