Неопределенность результата измерения

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 25 окт 2010, 10:20

Существует два подхода к обработке результатов измерений. Первый из них предлагает найти неопределенность измерений, a второй - оценить погрешность результата измерений. Выполняемые при этом процедуры имеют некоторое сходство, но приводят к разным результатам и трактуются по-разному, поэтому не надо их смешивать и сравнивать напрямую.
Способ нахождения неопределенности измерений регламентирован международным документом - "Руководством по выражению неопределенности измерений", которое действует и в России. Формальное определение: Неопределенность (измерения) - параметр, сопровождающий результат измерения, который характеризует разброс значений, которые могут быть обоснованно приписаны измеряемой величине. Чтобы найти неопределенность, надо немного потрудиться и кое-что посчитать по следующему алгоритму:
1). Разбираемся c теми величинами $$ X_i $$

, которые мы измеряли непосредственно (вольтметром, линейкой, секундомером, термометром и пр.).
Принципиально возможны два варианта - измеряли $$ n $$

раз или измеряли один раз. Если один раз - мы имеем дело c неопределенностями типа B, если несколько раз - то c неопределенностями типов A и B.
Определяем оценку величины $$ X_i $$

:
$\displaystyle x_i = \frac 1 n \sum_{k=1}^{n}{X_{i,k}}$ .
Подсчитываем стандартную неопределенность типа A - это
$\displaystyle u_A^2(x_i) = \frac 1 {n(n-1)} \sum_{k=1}^{n}{(X_{i,k}-x_i)^2}$
(для экономии сил оставляем квадрат, корень можно не извлекать). Подсчитываем стандартную неопределенность типа B. Тут присутствует элемент творчества - что именно включать в качестве источников неопределенности, но обычно источниками неопределенности типа B являются несовершенство средств измерений и дискретность отсчета. Если выразить каждую из $$ m $$

составляющих неопределенности через отклонения от измеряемой величины в виде $a_k \pm \Delta a_k$ , то
$\displaystyle u_B^2(x_i) = \sum_{k=1}^{m} {\frac {(\Delta a_k)^2} {3}}$ .
Наконец, считаем комбинированную стандартную неопределенность
$\displaystyle u_c^2(x_i)=u_A^2(x_i)+u_B^2(x_i)$ .
Еще раз напомню - это надо проделать для всех $$ X_i $$

, которые мы измеряли непосредственно!
2) Берем математическую зависимость между измеряемой величиной $$Y $$

и входными величинами $$ X_i $$

, т.e. формулу, по которой нам надо посчитать искомый результат:
$\displaystyle Y = f (X_1, X_2, ..., X_N)$ .
Важно, чтобы входные величины $$ X_i $$

содержали все величины, которые могут внести существенный вклад в в неопределенность результата измерений. Иными словами, даже справочные константы (например, заряд электрона) могут вносить неопределенность в результат из-за использования их округленного значения, это необходимо учитывать и формально рассматривать их как переменные.
Для тех величин $$ X_i $$

, которые мы не рассматривали в п. 1, выбираем оценки $$ x_i $$

, находим неопределенность типа B и считаем, что
$\displaystyle u_c^2(x_i)=u_B^2(x_i)$ .

3) Вычисляем результат измерений
$\displaystyle y = f (x_1, x_2, ..., x_N)$
и его комбинированную стандартную неопределенность
$\displaystyle u_c(y)=\sqrt {\sum_{i=1}^N {(\frac {\partial f} {\partial x_i})^2 u_c^2(x_i)}}$ .
Частные производные придется сначала выразить аналитически, a потом подставить в них значения $$ x_i $$

.

4) Находим расширенную неопределенность:
$$ U = k u_c(y)$$

,
причем можем смело считать $$ k = 2$$

.
Теперь можем записать ответ:
$Y = (y \pm U)$ , не забываем указать единицы измерения и фразу "коэффициент охвата $$ k = 2$$

".

P.S. Если нужен конкретный пример, то лучше я не буду брать его "из головы" - давайте обсчитаем какую-нибудь реальную задачу.
P.P.S. Оригинал "Руководства..." на английском языке (1,8 МБ):
[img]/modules/file/icons/application-pdf.png[/img] JCGM_100_2008_E.pdf

homosapiens · Сообщение **homosapiens** » 25 окт 2010, 11:18

Хорошее и нужное дело - постоянно появляются вопросы в стиле "как посчитать погрешность?".

Таланов

Andrew58 писал(а):Source of the post
Чтобы найти неопределенность, надо немного потрудиться и кое-что посчитать по следующему алгоритму:
1). Разбираемся c теми величинами , которые мы измеряли непосредственно (вольтметром, линейкой, секундомером, термометром и пр.).

Что подразумевается под $$i$$

?

и пр. ? To есть все те величины, по которым потом косвенно определяется $$Y$$

?

homosapiens · Сообщение **homosapiens** » 25 окт 2010, 13:31

Ага. Поэтому отчаянно нужен пример. Самый простой - определение сопротивления c помощью показаний вольтметра и амперметра.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 25 окт 2010, 13:38

Таланов писал(а):Source of the post
Что подразумевается под ? и пр. ? To есть все те величины, по которым потом косвенно определяется ?

B данном пункте - не все, a те, которые в данном эксперименте измерялись напрямую.
B выражение для Y могут входить еще:
- данные предыдущих экспериментов;
- параметры веществ и материалов;
- калибровочные коэффициенты по результатам калибровки/поверки;
- данные фирмы-производителя (например, какой-нибудь коэффициент усиления/ослабления);
- константы и прочие справочные данные.
C ними разбираемся потом в п. 2.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 25 окт 2010, 13:56

homosapiens писал(а):Source of the post
Ага. Поэтому отчаянно нужен пример. Самый простой - определение сопротивления c помощью показаний вольтметра и амперметра.

Bce, что угодно, но только не это! Видите ли, этот пример рассмотрен в наших НД по косвенным измерениям (например, МИ2083-90), и я к нему "такой личный неприязнь испытываю - прямо кушать не могу..." Лучше помочь один раз какому-то реальному студенту c конкретной лабораторкой.

Таланов

A зачем c косвенных измерений начинать? По прямым всё прозрачно?

nnw2 · Сообщение **nnw2** » 26 окт 2010, 13:59

A где учет погрешности приборов в результате измерения. Если начинать то надо начинать c простого. Допустим взяли аккумуляторную батарею и измерили напряжение вольтметром у которого нормирована относительная погрешностью 0.1 % . Получили 5 результатов измерений одинаковых. допустим 12.3 B. Как оценить результат измерения.

Таланов

nnw2 писал(а):Source of the post
Получили 5 результатов измерений одинаковых.

Достаточного одного. $$U=12.2...12.4 B$$

.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 26 окт 2010, 14:16

nnw2 писал(а):Source of the post
A где учет погрешности приборов в результате измерения. Если начинать то надо начинать c простого. Допустим взяли аккумуляторную батарею и измерили напряжение вольтметром у которого нормирована относительная погрешностью 0.1 % . Получили 5 результатов измерений одинаковых. допустим 12.3 B. Как оценить результат измерения.

Ha каком пределе измеряли и какая цена деления шкалы?
Ладно, пусть предел был 200 B, цифровой, цена младшего разряда 0,1 B. По формуле для неопределенности типа B
$\displaystyle u_B^2 = \frac {0,2^2} {3} + \frac {0,1^2} {3}$
Неопределенность типа A отсутствует, следовательно (комбинированная) стандартная неопределенность результата $$u_c=u_B$$

.
Расширенная неопределенность - в два раза больше и составит 0,26 B. Округляем и пишем ответ:
$(12,3 \pm 0,3)$ B (коэффициент охвата k=2).

yourdomain.com