yourdomain.com

еще раз всех приветствую))
у меня такой вопрос..
нужно определить положение равновесия и частоту малых колебаний вблизи положения равновесия в таком случае:
частица массы $$m$$

может скользить по проволочному эллипсу $\frac {x^2} {a^2}+\frac {y^2} {b^2}=1$ ,вращающемуся c постоянной угловой скоростью $\Omega$ вокруг вертикальной оси Оу в поле тяжести.
я взял в качестве обобщенной координаты $$x$$

, нашел положение равновесия $x_0=\sqrt{a^2-\frac {g^2b^2} {\Omega^4a^2}}$ ,
получил выражения для кинетической и потенциальной энергий:
$U(x)=-mgb\sqrt{1-\frac {x^2} {a^2}}-\frac {1} {2}m\Omega^2x^2$

$T=\frac {m} {2}\left(\dot{x}^2+\frac {b^2x^2\dot{x}^2} {a^2(a^2-x^2)}\right)$
дальше не знаю что делать..

Колебания малые. Поэтому в потенциальной энергии разложите корень в ряд Тейлора, a в кинетической принебрегите вторым членом (он много меньше первого). Потом продифференцируйте. Получите уравнение гармонических колебаний.

a почему второе слагаемое меньше чем первое?откуда это видно?

Второй член - малая величина четвертого порядка, a первый - второго.

При нахождения периода (или частоты) малых колебаний бывает полезно использовать следующий метод. После записи закона сохранения энергии убираем оттуда константы (они при дифференцировании превратятся в ноль), члены первого порядка малости ( они повлияют на сдвиг положения равновесия, но не на период) и все члены порядок малости которых больше двух (потому что они много меньше величин второго порядка малости). A после этого уже дифференцируем.

a можно так поступить?
1) перейти $x->x-x_0=\Delta x$
2) разложить кин.энергию в ряд Тейлора, получить выражение вида $T=A{\dot{\Delta}x}^2$
3) $\omega^2=\frac {1} {A}{\cdot}\frac {{\partial}^2U} {{\partial}x^2}(x_0)$

ведь колебания малые вблизи положения равновесия $$x_0$$

, a до этого я х отсчитывал от вертикальной оси Оу

Так и надо делать (и это не меняет то, что мы пренебрегаем вторым членом). Только в третьем пункте первая производная. И не по координате, a по времени.

хм..странно..нам на лекции говорили, что $\omega^2=k/m$ . где k вторая производная потенциальной энергии по координате в точке равновесия..

Можно просто записать уравнения Ларанжа и пренебречь членами второго порядка, частота в полученном уравнении сама "вылезет".

спасибо))

доброго времени суток! уважаемые, я снова к вам за помощью, задача o математическом маятнике co свободной точкой подвеса массой $$m$$

(см. рис).нужно найти частоту малых колебаний. для груза все понятно $T=\frac {Ml^2{\dot{\varphi}}^2} {2}$
$U(\varphi)= - Mgl\cos\varphi$ , a как быть c точкой подвеса?как выразить ee энергии через угол отклонения?
заранее спасибо)

yourdomain.com

теормех

теормех

теормех

теормех

теормех

теормех

теормех

теормех

теормех

теормех

теормех