Электрический потенциал

Daria 34 · Сообщение **Daria 34** » 24 дек 2009, 11:50

Доброго дня!
Есть вот такая задачка:

Найти средний потенциал <фи> по поверхности воображаемой сферы радиуса R ,
если в центре сферы потенциал фи0. Электрических зарядов нет.

Есть идея решать ee через плотность энергии, но вот как это осуществить не догадываюсь :rolleyes:

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 24 дек 2009, 12:13

Только подсказка...
Вероятно речь идёт об электростатике, тогда: потенциал в любой точке можно записать в виде:
$\varphi (\vec x)=\int \frac{q(\vec r)}{|\vec r-\vec x|}d\vec r+C$ (при условии, что в некоторой окрестности $\vec x$ : $q(\vec r)=0$ )
C - константа, интегрирование ведётся по всему пространству и $q(\vec r)=0$ внутри сферы.
Средний потенциал на поверхности сферы: $F=(1/4\pi R^2)\int \varphi (\vec x) ds(\vec x)$ Интеграл - по поверхности сферы.

Можно просто воспользоваться свойствами гармонических функций, каковой потенциал является.

Daria 34 · Сообщение **Daria 34** » 24 дек 2009, 12:30

Ой, a может подскажете какие свойства у гармонических функций и что это за функции, то решение на которое подсказка, пробовала, думаю там останутся неизвестные при интегрировании.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 24 дек 2009, 12:43

Есть "жульнический" способ решения: если ответ есть, то он должен быть справедлив и для функции потенциала, постоянной по всему пространству (например, внутри заряженной проводящей оболочки), следовательно, $\langle\varphi\rangle$ просто равно $\varphi_0$ .

da67 · Сообщение **da67** » 24 дек 2009, 12:48

Посмотрите тут и тут.

Developer · Сообщение **Developer** » 24 дек 2009, 12:54

O каком потенциале речь?
Известны скалярные и векторные, электрические, термодинамические, гравитационные и химические, другие потенциалы...

Daria 34 · Сообщение **Daria 34** » 24 дек 2009, 12:55

естественно электрический, это и в названии темы написано

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 24 дек 2009, 13:24

Господа, у меня что-то не получается.

Я решил найти $d\langle\varphi\rangle(R)$ , взяв сферу радиуса на $$dR$$

меньшего, чем исходная. Сначала я записал так ( $\Phi$ - все угловые переменные):
$\int_{\Phi}\varphi(R)ds-\int_{\Phi}\varphi(R-dR)ds=$
$=\int_{\Phi}d\varphi_{R}(R)ds=\int_{\Phi}\vec{E}(R)\vec{n}\,dR\,ds=dR\int_{\Phi}\vec{E}(R)\vec{ds}=0$
где $$0$$

получается из теоремы Гаусса, и подумал, что получил решение. И даже послал его на форум.

Ho потом я заметил, что забыл поделить интеграл на площадь сферы, a тогда получается другой ответ:
$d\langle\varphi\rangle(R)=\frac{1}{4\pi R^2}\int_{\Phi}\varphi(R)ds-\frac{1}{4\pi (R-dR)^2}\int_{\Phi}\varphi(R-dR)ds=$
(производная произведения)
$=\frac{1}{4\pi R^2}\int_{\Phi}d\varphi_{R}(R)ds+(\frac{1}{4\pi R^2})'dR\int_{\Phi}\varphi(R)ds=$
$=0+\langle\varphi\rangle(R)\,\left(\frac{1}{4\pi R^2}\right)'dR$
(нуль из предыдущего вычисления).

Имеем дифференциальное уравнение на $\langle\varphi\rangle(R)$
$d\langle\varphi\rangle(R)=\left(\frac{1}{4\pi R^2}\right)'\langle\varphi\rangle(R)dR$
c разделяющимися переменными
$\frac{d\langle\varphi\rangle(R)}{\langle\varphi\rangle(R)}=d\frac{1}{4\pi R^2}$
и очевидным решением
$\ln\langle\varphi\rangle(R)=\frac{1}{4\pi R^2}+C$ .

Ho это решение не только не совпадает c ответом, оно вообще расходится в нуле!

Помогите.

da67 · Сообщение **da67** » 24 дек 2009, 14:09

Я такого решения раньше не видел, a оно намного проще обычного. Спасибо за идею.

$\int_{\Phi}\varphi(R)ds-\int_{\Phi}\varphi(R-dR)ds=\int_{\Phi}d\varphi_{R}(R)ds$
Вот этот переход неверен, т.к. в интегралах слева $$ds$$

разные. Ho это легко лечится.

Пусть
$J(R)=\int \varphi \,d S$
Тогда
$\delta J=\int_{R+dR}\varphi\,dS-\int_{R}\varphi\,dS=\int (\delta\varphi)\,dS+\int\varphi \,\delta dS$
Здесь первый интеграл равен нулю, a второй, т.к.
$\int \varphi\,dS=R^2\int \varphi\,d\Omega$ ,
равен
$2RdR\int \varphi\,d\Omega=2\frac{dR}{R}\int \varphi\,dS$
Итого $dJ=2\frac{dR}{R}J$ , откуда $$J=kR^2$$

, т.e. среднее значение по сфере c центром в данной точке не зависит от радиуса сферы.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 24 дек 2009, 14:56

He понимаю, что вы обозначаете $\delta$ .

yourdomain.com