Вращение тела и сбережение энергии
Добавлено: 29 сен 2007, 05:21
Добрый день. Помогите пожалуйста.
Предположим есть у нас тело массой
(пусть это будет палка длинной
), на него действует сила
, приложенная к центру масс тела, на протяжении времени
. Система естественно замкнутая, трения нет. Эта сила совершит работу:
![$$A = Fs$$ $$A = Fs$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24A%20%3D%20Fs%24%24)
Эта работа пойдет на ускорение тела и через время
будет равна его кинетической энергии:
![$$E_{k} = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2}(\frac{Ft}{m})^2 = \frac{(Ft)^2}{2m}$$ $$E_{k} = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2}(\frac{Ft}{m})^2 = \frac{(Ft)^2}{2m}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24E_%7Bk%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bmv%5E2%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bm%7D%7B2%7D%28%5Cfrac%7BFt%7D%7Bm%7D%29%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7B%28Ft%29%5E2%7D%7B2m%7D%24%24)
которую мы можем посчитать.
A теперь эта же сила действуйет на это же тело, но действует не на центр масс, a перпендикулярно к краю этой палки, то есть старается его раскрутить.
Какая-то часть работы силы пойдет на кинетическую энергию вращения:
![$$U_{k} = \frac{Iw^2}{2}$$ $$U_{k} = \frac{Iw^2}{2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24U_%7Bk%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BIw%5E2%7D%7B2%7D%24%24)
(центр вращения проходит через середину палки
, перпендикулярно к ней)
Естественно,![$$U_{k} \leq E_{k}$$ $$U_{k} \leq E_{k}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24U_%7Bk%7D%20%5Cleq%20E_%7Bk%7D%24%24)
момент силы
, отсюда: ![$$w = \frac{FLt}{2I}$$ $$w = \frac{FLt}{2I}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24w%20%3D%20%5Cfrac%7BFLt%7D%7B2I%7D%24%24)
![$$w^2 = \frac{(FLt)^2}{4I^2}$$ $$w^2 = \frac{(FLt)^2}{4I^2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24w%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7B%28FLt%29%5E2%7D%7B4I%5E2%7D%24%24)
![$$U_{k} = \frac{1}{2}I\frac{(FLt)^2}{4I^2} = \frac{1}{8}\frac{(FLt)^2}{I}$$ $$U_{k} = \frac{1}{2}I\frac{(FLt)^2}{4I^2} = \frac{1}{8}\frac{(FLt)^2}{I}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24U_%7Bk%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DI%5Cfrac%7B%28FLt%29%5E2%7D%7B4I%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%5Cfrac%7B%28FLt%29%5E2%7D%7BI%7D%24%24)
и подставим
в последнее выражение:
![$$U_{k} = \frac{1}{8}\frac{(FLt)^2}{mL^2/12} = \frac{12}{8}\frac{(Ft)^2}{m} = 3\frac{(Ft)^2}{2m} = 3E_{k}$$ $$U_{k} = \frac{1}{8}\frac{(FLt)^2}{mL^2/12} = \frac{12}{8}\frac{(Ft)^2}{m} = 3\frac{(Ft)^2}{2m} = 3E_{k}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24U_%7Bk%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%5Cfrac%7B%28FLt%29%5E2%7D%7BmL%5E2%2F12%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B12%7D%7B8%7D%5Cfrac%7B%28Ft%29%5E2%7D%7Bm%7D%20%3D%203%5Cfrac%7B%28Ft%29%5E2%7D%7B2m%7D%20%3D%203E_%7Bk%7D%24%24)
Выходит одна и та же сила выполнила в 3 раза болше работы, действуя просто в другую точку тела? Что-то тут не так.
Поясните где я чего недоглядываю. Спасибо большое.
Предположим есть у нас тело массой
Эта работа пойдет на ускорение тела и через время
которую мы можем посчитать.
A теперь эта же сила действуйет на это же тело, но действует не на центр масс, a перпендикулярно к краю этой палки, то есть старается его раскрутить.
Какая-то часть работы силы пойдет на кинетическую энергию вращения:
Естественно,
момент силы
и подставим
Выходит одна и та же сила выполнила в 3 раза болше работы, действуя просто в другую точку тела? Что-то тут не так.
Поясните где я чего недоглядываю. Спасибо большое.