Вращение тела и сбережение энергии

foyevtsov · Сообщение **foyevtsov** » 29 сен 2007, 05:21

Добрый день. Помогите пожалуйста.
Предположим есть у нас тело массой $$m$$

(пусть это будет палка длинной $$L$$

), на него действует сила $$F$$

, приложенная к центру масс тела, на протяжении времени $$t$$

. Система естественно замкнутая, трения нет. Эта сила совершит работу:
$$A = Fs$$

Эта работа пойдет на ускорение тела и через время $$t$$

будет равна его кинетической энергии:
$E_{k} = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2}(\frac{Ft}{m})^2 = \frac{(Ft)^2}{2m}$
которую мы можем посчитать.
A теперь эта же сила действуйет на это же тело, но действует не на центр масс, a перпендикулярно к краю этой палки, то есть старается его раскрутить.
Какая-то часть работы силы пойдет на кинетическую энергию вращения:
$U_{k} = \frac{Iw^2}{2}$
$I = \frac{mL^2}{12}$ (центр вращения проходит через середину палки $$L/2$$

, перпендикулярно к ней)
Естественно, $U_{k} \leq E_{k}$
момент силы $M = F\frac{L}{2} = I\frac{w}{t}$ , отсюда: $w = \frac{FLt}{2I}$
$w^2 = \frac{(FLt)^2}{4I^2}$
$U_{k} = \frac{1}{2}I\frac{(FLt)^2}{4I^2} = \frac{1}{8}\frac{(FLt)^2}{I}$
и подставим $$I$$

в последнее выражение:
$U_{k} = \frac{1}{8}\frac{(FLt)^2}{mL^2/12} = \frac{12}{8}\frac{(Ft)^2}{m} = 3\frac{(Ft)^2}{2m} = 3E_{k}$

Выходит одна и та же сила выполнила в 3 раза болше работы, действуя просто в другую точку тела? Что-то тут не так.

Поясните где я чего недоглядываю. Спасибо большое.

foyevtsov · Сообщение **foyevtsov** » 29 сен 2007, 15:44

B общем вопрос состоит в нахождении 2-х компонент энергии тела: вращательной и поступательной, когда сила действует на не закрепленное тело, очевидно что это будет зависеть от момента силы.
A приведенная задача - моя попытка решить проблему c точки зрения сохранения энергии

foyevtsov · Сообщение **foyevtsov** » 01 окт 2007, 18:08

Господа физики, пожалуйста, не ужели никто не может помочь c решением такой задачи? Для меня важно найти это решение.
Попробую обяснить попроще, может не совсем понятно. Какая будет энергия поступательного и энергия вращательного движеня карандаша, если его ударить шалбаном?
Карандаш лежал на столе, перед шалбаном.

Developer · Сообщение **Developer** » 02 окт 2007, 10:29

Действительно, работа dA, совершаемая при поступательном движении и при преодолении силы F на отрезке dx есть величина dA=Fdx.
A при вращательном движении работа dA, совершаемая по преодолению момента сил M на угле поворота dφ уже другая величина dA=Mdφ.
Вот именно здесь, на мой взгляд, Вы "чего-то и не доглядываете"...

foyevtsov · Сообщение **foyevtsov** » 02 окт 2007, 15:20

Developer писал(а):Source of the post
Действительно, работа dA, совершаемая при поступательном движении и при преодолении силы F на отрезке dx есть величина dA=Fdx.
A при вращательном движении работа dA, совершаемая по преодолению момента сил M на угле поворота dφ уже другая величина dA=Mdφ.
Вот именно здесь, на мой взгляд, Вы "чего-то и не доглядываете"...

B своих расчетах я употребил формулу $U_{k} = \frac{Iw^2}{2}$ что есть то же самое, что и Ваша $dA=Md\phi$
$A=F\Delta s; \; E=\frac{mv^2}{2}$
$\frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2)=\frac{1}{2}m2v\frac{dv}{dt}=mv\frac{dv}{dt}$
$F=ma=m\frac{dv}{dt}$
$\frac{dE}{dt}=Fv$
$\int{dE}=F\int{vdt}$
$$E=Fvt=Fs$$

идентично получается и Ваша формула из моей (ну конечно формулы нам не пренадлежат, но мы их писали ):

$A=M\Delta{\phi}; \; U=\frac{I\omega^2}{2}$
$\frac{dU}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}I\omega^2)=\frac{1}{2}I2\omega\frac{d\omega}{dt}=I\omega\frac{d\omega}{dt}$
$M=I\epsilon=I\frac{d\omega}{dt}$
$\frac{dU}{dt}=M\omega$
$\int{dU}=M\int{\omega dt}$
$U=M\omega t=M\phi$

то есть мы смело можем использовать оба выражения, физика от этого не изменится.
Или вы что-то не то имели в виду?

Developer · Сообщение **Developer** » 04 окт 2007, 10:13

Я имел в виду то, что при вращательном движении в уравнении движения твёрдого тела суммируются моменты сил и нулю приравнивается суммарный момент сил, в то время как для поступательного движения в уравнении движения суммируются сами силы.
Следовательно, в Ваших вопросе и утверждении "Выходит одна и та же сила выполнила в 3 раза больше работы, действуя просто в другую точку тела? Что-то тут не так." вывод, следующий в самой его постановке Вами совершенно верен, a вот последовавшее за вопросом утверждение в виде сомнения должно быть развеяно.
Рассмотрите, например, тот же стержень, но уже закреплённый на одном из его концов (точка приложения силы окажется другой), и подсчитайте кинетическую энергию, - она должна оказаться по величине всего 0,75 величины кинетической энергии стержня, по которому "щёлкнули" точно посередине...

foyevtsov · Сообщение **foyevtsov** » 05 окт 2007, 01:06

Developer писал(а):Source of the post
Рассмотрите, например, тот же стержень, но уже закреплённый на одном из его концов (точка приложения силы окажется другой), и подсчитайте кинетическую энергию, - она должна оказаться по величине всего 0,75 величины кинетической энергии стержня, по которому "щёлкнули" точно посередине...

Ho мы не можем просто закрепить палку и сказать что сила выполнит меньше работы, ведь так? Сила выполнит ту же работу, вероятно. Просто скорость вращения будет другой, a работа выполнится еще и над опорой, где мы закрепили палку (ну или на нагрев тела, если мы не прочь учесть упругие силы в системе).
Я же хочу решить случай свободных тел, замкнутой механической системы, без упругих взаимодействий.

Впрочем, я полагаю уже решил. Я поместил в мою замкнутую систему палку и шарик, c одинаковыми массами. Палка покоится, a шарик летит к ней навстречу:

тогда я написал систему уравнений: сохранения момента импульса, импульса и энергии:

$\left{\begin{tabular}{l}mv_{1}R=mv_{2}R+I\omega\\mv_{1}=mv_{2}+mv_{3}\\mv_{1}^2/2=mv_{2}^2/2+mv_{3}^2/2+I\omega^2/2\\\end{tabular}\right.$

$$I=km(2R)^2$$

$\omega=V_{4}/R$

подставляя и решая я получил:

$V_{2}=\frac{V_{1}}{8k+1}$

$V_{3}=\frac{8kV_{1}}{8k+1}$

$V_{4}=\frac{2V_{1}}{8k+1}$ или $\omega=\frac{V_{4}}{R}=\frac{2V_{1}}{R(8k+1)}$ .

Проверял на тестовой задачке, работает

, если система правильно решена и составлена. Ho это тоже проверял.

Developer · Сообщение **Developer** » 05 окт 2007, 10:28

Поразмышляйте над терминологией, применяемой в физике, в частности в механике:
- сила не выполняет никакой работы, говорят, что сила прилагается или действует (пример: тело массы m покоится на земной поверхности и на него действует сила mg; никакой работы при этом не совершается);
- работа выполняется, если тело, к которому приложена сила, перемещается в пространстве в направлении по преодолению этой силы (пример: мы поднимаем тело массы m на высоту h от земной поверхности, преодолевая силу mg и тем самым совершая работу mgh, которая численно равна потенциальной энергии тела (относительно земной поверхности));
- тело массы m падает c высоты h под действием силы mg, но при этом никакой работы не совершается, хотя тело есть, сила к нему приложена и тело перемещается на расстояние h.

foyevtsov · Сообщение **foyevtsov** » 05 окт 2007, 15:47

Developer писал(а):Source of the post
Поразмышляйте над терминологией, применяемой в физике, в частности в механике:
- сила не выполняет никакой работы, говорят, что сила прилагается или действует (пример: тело массы m покоится на земной поверхности и на него действует сила mg; никакой работы при этом не совершается);

Bac страшно слушать, вы не обижайтесь, ничего личного, но вы книжку открывали перед тем как писать такое?
"И у этого интеграла есть имя: его называют работой, совершенной силой над телом"
"Фейнмановские лекции по физике", P.Фейнман, P.Лейтон, M.Сэндс. 1 том, c.232 (см. так же c. 244)

Если тело покоится, работа не выполняется, абсолютно верно.

- работа выполняется, если тело, к которому приложена сила, перемещается в пространстве в направлении по преодолению этой силы (пример: мы поднимаем тело массы m на высоту h от земной поверхности, преодолевая силу mg и тем самым совершая работу mgh, которая численно равна потенциальной энергии тела (относительно земной поверхности));

Говорят "работа по преодолению сил", согласен, но не против той силы, которая двигает тело. Работу выполняет проекция результирующей векторной суммы сил на направление движения тела.

- тело массы m падает c высоты h под действием силы mg, но при этом никакой работы не совершается, хотя тело есть, сила к нему приложена и тело перемещается на расстояние h.

"...вся работа, произведенная в движении по замкнутому контуру пути, должна быть нулем для сил тяжести..."
"Фейнмановские лекции по физике", P.Фейнман, P.Лейтон, M.Сэндс. 1 том, c.234 (см. так же c. 234-236)
"...когда вы сбегаете по лестнице вниз, то, согласно физие, мир производит работу над вами"
"Фейнмановские лекции по физике", P.Фейнман, P.Лейтон, M.Сэндс. 1 том, c.245

Developer · Сообщение **Developer** » 08 окт 2007, 15:47

Продолжим? Если не возражаете...
Поднимая тело массой M в постоянном поле g тяготения Земли из точки первоначального покоя (1) на высоту h, я совершаю (затрачиваю энергию *)) работу по преодолению силы тяготения co стороны Земли на поднимаемое мной тело.
Эта работа численно равна изменению потенциальной энергии системы "Земля-тело" (в которой Земля как бы не учитывается, a изменение потенциальной энергии приписывается исключительно телу и составляет величину Mgh).
Если я отпущу поднятое на высоту h тело, под действием силы тяготения оно начнёт увеличивать свою кинетическую энергию, одновременно уменьшая потенциальную энергию системы и в точке первоначального покоя (1) будет иметь нулевую потенциальную энергию и не нулевую кинетическую, которая по величине будет численно равна работе, ранее ~~потраченной~~ выполненной*) мною на поднимание тела, то есть Mgh.
Относительно таких рассуждений есть ли у Bac, Oleksandr, возражения?
*) Примечания: добавлено и исправлено после ценного замечания собеседника

yourdomain.com