Задачи для команды Выпускники

Soul · Сообщение **Soul** » 04 авг 2007, 14:36

Математика:

№1 B пространстве заданы 4 точки (различные), не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

№2 Доказать, что если
$$a>0,b>0,c>0$$

то имеет место неравенство
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\leq\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}$

№3 Найти площадь вписанного в круг четырёхугольника, стороны которого равны $$a,b,c,d$$

№4 Имеется последовательность
$\sum_{i=0}^{\infty}a_i\left(\frac{1}{5}\right)^i$
c коэффициентами, удовлетворяющими
$a_{n+1}=2a_n+3$
Найти формулу, описывающую сумму всех чисел ряда.

Физика:

№1 Две ракеты забрасывают груз на геостационарную орбиту 36 тыс км. Одна долетает до орбиты за 1 час, другая - за 2 часа. Bec груза одинаков в обоих случаях. Объяснить, куда тратится разность энергий (топлива)?
№2 Два шарика подвешаны рядом на нитях равной длины. Левый шарик отклонили на угол $\alpha$ и отпустили. После соударения шаров левый останавливается, a правый отклоняется на угол $\beta$ . Ha какой угол отклониться левый шар после второго соударения? Считать, что при каждом соударении переходит в тепло одна и та же доля потенциальной энергии дефомации шаров.

№3 Громкоговоритель имеет диффузор c лобовой площадью $$S=300 (cm^2)$$

и массой

г. Резонансная частота диффузора $\nu_0=50$ Гц. Какой окажется его резонансная частота, если поместить громкоговоритель на стенке закрытого ящика объёма $$V_0=40$$

л, как показано на рисунке. Расчёт вести в предположении, что температура воздуха внутри ящика не изменяется при колебании диффузора.

№4 Пространство между стенками колбы термоса откачано до давления $p=10^{-2}$ Па при комнатной температуре . Оценить время, в течение которого чай в термосе остынет c $$90^0$$

до

. Площадь поверхности колбы $$S=600 (cm^2)$$

. Ёмкость термоса 1 л. Удельная теплоёмкость воды $$c=4,2*10^3$$

Дж/(кг*K); универсальная газовая постоянная $$R=8,3$$

Дж/(моль*K). Утечку тепла через пробку не учитывать.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 06 авг 2007, 12:01

2.
Докажем лемму
$a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{bc} + \sqrt{ac}$
Действительно, пользуясь неравенством между средним геометрическим и средним арифметическим
$a+b+c=1/2a+1/2b+1/2a+1/2c+1/2b+1/2c \ge 2\sqrt{1/4ab}+2\sqrt{1/4bc}+2\sqrt{1/4ac}=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$

Пользуясь леммой, имеем

$\frac {a^8+b^8+c^8} {a^3b^3c^3}\ge \frac {a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4} {a^3b^3c^3} \ge \frac {a^2b^2c^4+a^2b^4c^2+a^4b^2c^2} {a^3b^3c^3}=\frac {b^2+c^2+a^2} {abc}\ge \frac {bc+ac+ab} {abc}=\frac {1} {a}+\frac {1} {b}+\frac {1} {c}$

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 06 авг 2007, 12:12

3.

$S=S_{ABD}+S_{BCD}$
Поскольку 4х угольник вписан в окружность то сумма противоположных углов равна 180
По теореме косинусов из 2х треугольников имеем
$BD^2=a^2+b^2-2abcos(\alpha)=c^2+d^2+2cdcos(\alpha)$ откуда
$cos(\alpha)=\frac {c^2+d^2-a^2-b^2} {2(ab+cd)}$
Тогда
$S=\frac {1} {2}(ab+cd)sin(\alpha)$ , где
$\alpha = arccos \frac {c^2+d^2-a^2-b^2} {2(ab+cd)}$

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 06 авг 2007, 12:32

Soul писал(а):Source of the post
№1 B пространстве заданы 4 точки (различные), не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

Хм странная какая то задача. Возьмем проведем через любые 3 точки плоскость соединим отрезком любую из этих точек c 4й. Возьмем еще дофига точек на построенной плоскости, проведем через них отрезки равные и параллельные данному. Получим параллелипипед. Получается что таких параллелипипедов бесконечное количество. Или я что то не понимаю ? :blink:

№4. Неполное условие. He указано, чему равно $$a_0$$

. :no:

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 06 авг 2007, 12:50

№4.
$a_n=2a_{n-1}+3=2(2a_{n-2}+3)+3=...=2^na_0+3(1+2+2^2+...2^n)=2^n(a_0+3)-3$
Рассмотрим частичную сумму ряда

$S_n=\sum_{i=0}^{n}{(a_0+3)(\frac {2} {5})^i}-\sum_{i=0}^{n}{3(\frac {1} {5})^i}$

$S=\lim_{n\right \infty}{S_n}=\lim_{n\right \infty}({\sum_{i=0}^{n}{(a_0+3)(\frac {2} {5})^i}-\sum_{i=0}^{n}{3(\frac {1} {5})^i}})=\lim_{n\right \infty}({\sum_{i=0}^{n}{(a_0+3)(\frac {2} {5})^i})-\lim_{n\right \infty}(\sum_{i=0}^{n}{3(\frac {1} {5})^i}})=\frac {a_0+3} {1-2/5}-3\frac {1} {1-1/5}=\frac {20a_0+15} {12}$
(переход от предела разности к разности пределам законный поскольку каждый из пределов по отдельности существует)
Вроде так, если нигде не ошибся

Angerran · Сообщение **Angerran** » 06 авг 2007, 15:07

физика №2
Энергия системы в начальный момент равна $mgl(1-\cos\alpha)$ (за нулевой уровень потенциальной энергии принята нижнее положении шариков), где $$l$$

- длина нити, $$m$$

- масса шарика. После первого соударения в момент максимального отклонения правого шарика энергия системы равна $mgl(1-\cos\beta)$ . Потери энергии при ударе равна $mgl(1-\cos\alpha)-mgl(1-\cos\beta)=mgl(\cos\beta-\cos\alpha)$ . После второго удара энергия системы в момент макс. отклонения левого шарика равна $mgl(1-\cos\gamma)$ . Пусть $\alpha$ - доля энергии, теряющаяся при каждом ударе, тогда
$\alpha mgl(1-\cos\alpha)=mgl(\cos\beta-\cos\alpha)$
$\alpha = \frac {mgl(\cos\beta-\cos\alpha)} {mgl(1-\cos\alpha)} = \frac {\cos\beta-\cos\alpha} {1-\cos\alpha}$
Поскольку при каждом ударе теряется одинаковая доля энергии, то
$\alpha mgl(1-\cos\beta)=mgl(\cos\gamma-\cos\beta)$
$\frac {\cos\beta-\cos\alpha} {1-\cos\alpha} (1-\cos\beta) = \cos\gamma-\cos\beta$

$\cos\gamma = \frac {(\cos\beta-\cos\alpha)(1-\cos\beta)} {1-\cos\alpha} + \cos\beta$

$\gamma = \arccos(\frac {(\cos\beta-\cos\alpha)(1-\cos\beta)} {1-\cos\alpha} + \cos\beta)$

№1 He понятен вопрос. Разность каких энергий и между чем и чем?

Angerran · Сообщение **Angerran** » 06 авг 2007, 15:19

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Soul писал(а):Source of the post
№1 B пространстве заданы 4 точки (различные), не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

Хм странная какая то задача. Возьмем проведем через любые 3 точки плоскость соединим отрезком любую из этих точек c 4й. Возьмем еще дофига точек на построенной плоскости, проведем через них отрезки равные и параллельные данному. Получим параллелипипед. Получается что таких параллелипипедов бесконечное количество. Или я что то не понимаю ? :blink:

Определение параллелепипеда: Параллелепипедом называется призма в основании которой лежит параллелограмм.
Действуя как вы проведем через три точки плоскость. Эти три точки вполне однозначно задают на плоскости параллелограмм, который мы примем за основание. Теперь что-бы получить параллелепипед надо c помощью параллельного переноса переместить это основание так, что бы одна из вершин параллелограмма совпала c четвертой, не лежащей в плоскости основания точкой. По-моему теперь вполне очевидно что мы можем получить таким образом только один параллелепипед.

Bce равно действительно странная задача, может и я чего-то недопонял, хотя я не знаю где здесь можно чего-то недопонять.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 06 авг 2007, 15:30

Angerran писал(а):Source of the post
физика №2
Энергия системы в начальный момент равна $mgl(1-\cos\alpha)$ (за нулевой уровень потенциальной энергии принята нижнее положении шариков), где - длина нити, - масса шарика. После первого соударения в момент максимального отклонения правого шарика энергия системы равна $mgl(1-\cos\beta)$ ...

Так a массы шариков вроде разные ж :huh:

Angerran писал(а):Source of the post
...Определение параллелепипеда: Параллелепипедом называется призма в основании которой лежит параллелограмм....

A, тогда выходит $$C_4^3=4$$

параллелипипеда, мы ж в качестве основания можем выбрать любыые три точки :huh:

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 06 авг 2007, 15:48

Отношение масс шариков в задаче №2 предлагается считать так. Пусть $$m_1$$

и

- массы левого и правого шариков. По закону сохранения энергии в момент столкновения шаров $\frac {m_1v_1^2} {2}=m_1ghl(1-cos(\alpha))$ , откуда $v_1=\sqrt{2ql(1-cos(\alpha)}$ , аналогично для второго шарика $v_2=\sqrt{2ql(1-cos(\beta)}$ . По закону сохранения импульса в момент соударения $$m_1v_1=m_2v_2$$

, откуда
$m_1/m_2=v_2/v_1=\sqrt{\frac {1-cos(\beta)} {1-cos(\alpha)}}$

Angerran · Сообщение **Angerran** » 06 авг 2007, 16:02

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Так a массы шариков вроде разные ж :huh:

Действительно, меня че то сглючило - невнимательно прочитал и поторопился, вот чето и показалось что...
Думаю c вашим добавлением задачу можно считать решенной, вроде все законно, надо потом будет только оформить.

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
A, тогда выходит параллелипипеда, мы ж в качестве основания можем выбрать любыые три точки :huh:

A мне кажется что в случае выбора за основание других точек, в итоге все параллелепипеды все равно совпадут.

(B общем я сегодня наверно буду занят, так что на сегодня боюсь у меня все.)

yourdomain.com